Enunciado

Use coordenadas esféricas.

Encontre o volume da parte da esfera ρ   ≤   a que fica entre os cones ϕ = π 6 e ϕ = π 3 .

Passo 1

Fala aí! Vamos usar as coordenadas esféricas para encontrar o volume dessa esfera, ok? Vamos lá! Primeiro lembrando que nesse tipo de coordenadas, vamos ter:

x = ρ   s e n   ϕ   c o s   θ y = ρ   s e n   ϕ   s e n   θ z = ρ   c o s   ϕ

E lembrando que:

  x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Analisando a região dada no enunciado, através da esfera temos que 0   ≤   ρ   ≤   a , a condição imposta pelo plano x y impõe que ϕ = π / 6 , e por fim, o cone impõe o limite de que ϕ   ≥   π / 3 . Não temos nenhuma restrição para θ , logo 0   ≤   θ   ≤   2 π . Dessa forma, podemos encontrar o volume através da integral de:

∫ π / 6 π / 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 a ρ 2 s e n   ϕ   d ρ   d θ   d ϕ

Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:

∫ π / 6 π / 3 s e n   ϕ   d ϕ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a ρ 2 d ρ

Passo 2

Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:

- c o s   ϕ   π / 6 π / 3   .   θ 0 2 π   .   ρ 3 3 0 a

- c o s   π 3 + c o s   π 6   .   2 π - 0   .   a 3 3 - 0 3 3

- 1 2 + 3 2   .   2 π   .   a 3 3

3 - 1 2   .   2 π   .   a 3 3

3 - 1 2   .   2 π   .   a 3 3

3 - 1 . π . a 3 3

Sendo assim, temos que:

V = π a 3 3 3 - 1

Uhul! Conseguimos!

Resposta

V = π a 3 3 3 - 1

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Escreva a integral tripla de uma função contínua arbitrária f x , y , z em cooredenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado.
Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E z d V , onde E está entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante.
Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E x y z d V , onde E está entre as esferas ρ = 2 e ρ = 4 e acima do cone ϕ = π 3 .
Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ H 9 - x 2 - y 2 d V , onde H é o hemisfério sólido x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 , z ≥ 0 .
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. ρ ≤ 2 , ρ ≤ c o s s e c ( ϕ )