Enunciado

Encontre a área da superfície.

Parte do paraboloide y = z 2 + x 2 que está no cilindro x 2 + z 2 = 16 .

Passo 1

Pessoal, se uma superfície S tem uma equaçao da forma y = f ( x , z ) , onde ( x , z ) ∈ D e se f tem derivadas parciais contínuas, temos que:

A S = ∬ 1 + ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 d A

Passo 2

Dado que y = z 2 + x 2 , precisamos calcular primeiro as nossas derivadas parciais. Assim,

∂ y ∂ x = 2 x

∂ y ∂ z = 2 z

Portanto,

A S = ∬ 1 + 2 x 2 + ( 2 z ) 2 d A

A S = ∬ 1 + 4 x 2 + 4 z 2 d A

Passo 3

Antes de resolver a integral, vamos passar para coordenadas polares!

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

A região D é uma circunferência x 2 + z 2 = 16 ! Assim, podemos escrever a integral dupla

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 1 + 4 r 2   r   d r d θ

A S = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 4 r 1 + 4 r 2 d r

Para resolver essa integral em r , vamos usar o método da substituição! Seja u = 1 + 4 r 2   →     d u = 8 r d r → d u 8 = r d r . Os limites de integração vão mudar também. Eles vão mudar de 0 e 4 para 1 + 4 ⋅ 0 2 = 1 e 1 + 4 ⋅ 4 2 = 65 . Assim,

A S = ∫ 0 2 π d θ ∫ 1 65 u d u 8

A S = 1 8 ∫ 0 2 π d θ 2 3 u 3 2 1 65 = 2 24 ∫ 0 2 π d θ 65 65 - 1

A S = 2 24 65 65 - 1 ∫ 0 2 π d θ

A S = π 6 ( 65 65 - 1 )

Resposta

A área da superfície é:

A S = π 6 ( 65 65 - 1 )

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Calcular a área da superfície do paraboloide y = 3 - ( x 2 + z 2 ) interceptado pelo plano y = 0
Calcular a área da superfície plana 2 x + 2 y + 3 z = 6 , tomada no 1 ° octante.
Calcular a área da parte do cone z 2 = x 2 + y 2 que está no interior do paraboloide z = 2 x 2 + 2 y 2 .
Calcular a área da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 interior ao cilindro y 2 + z 2 = 4 z .
Encontrar a área da superfície do cilindro x 2 + z 2 = 25 limitada pelos planos x = 0 , x = 2 , y = 0 , y = 3 .