Enunciado

Calcular a área da parte do cone z 2 = x 2 + y 2 que está no interior do paraboloide z = 2 x 2 + 2 y 2 .

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos escrever nossa integral em termos das coordenadas x   e   y .

Seja f x , y = x 2 + y 2

Tomando nossas derivadas direcionais, temos

∂ z ∂ x = x x 2 + y 2

e

∂ z ∂ y = y x 2 + y 2

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

1 + x x 2 + y 2 2 + y x 2 + y 2 2 = 2

Passo 3

Vamos agora verificar nossos limites de integração. Tanto o cone quanto o paraboloide crescem na direção de z > 0 . Em algum momento eles se encontram. Mas quando? A ideia é relacionar as duas equações.

p a r a b o l ó i d e → z = 2 x 2 + y 2 = 2 c o n e = 2 z 2

Ou seja

z = 2 z 2 → z = 1 2

Tomando uma parametrização adequada como

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z 2 = r 2

implica que r ∈ [ 0 ,   1 / 2 ] e além disso temos θ ∈ 0,2 π . Devemos lembrar que dada a transformação, nosso d x   d y se transforma em r   d r   d θ .

Passo 4

Vamos integrar?

Nossa integral agora possui a seguinte cara

A S = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 / 2 r d r   d θ

Assim temos

A A S = 2 2 π r 2 2 0 1 / 2 = 2 4 π

Resposta

2 4 π   u . a

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Calcule a integral de superfície. ∬ y 2 z 2 d S S é a parte do cone y = x 2 + z 2 dado por 0 ≤ y ≤ 5 .
Calcule a integral de superfície. ∬ y d S S é a superfície z = 2 3 x 3 2 + y 3 2 , 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 .
Calcule a integral de superfície. ∬ z 2 d S S é a parte do paraboloide x = y 2 + z 2 dado por 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral de superfície. ∬ x d S S é a região triangular com vértices 1,0 , 0 , 0 , - 2,0e0,0 , 4 .
Calcule a integral de superfície. ∬ x y z d S S é o cone com as equações paramétricas x = u cos ⁡ v ,y = u sen ⁡ v ,z = u ,0 ≤ u ≤ 1 ,0 ≤ v ≤ π 2 .