Enunciado

Calcular a área da superfície plana 2 x + 2 y + 3 z = 6 , tomada no 1 ° octante.

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o calculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos definir de maneira simples qual é nossa função.

Se

2 x + 2 y + 3 z = 6 → z = 2 - 2 x 3 - 2 y 3

E assim já temos algo pra começar. Entretanto vamos definir nossos limites de integração. Como estamos trabalhando no primeiro octante, temos que x > 0 . y > 0 e z > 0 .

Se z > 0 , então

2 - 2 x 3 - 2 y 3 > 0 → y < 3 - x

Assim nosso limites são x ∈ 0,3 e y ∈ 3 - x , 3

Passo 3

Vamos agora integrar e finalmente terminar com isso hahaha

A S = ∫ 0 3 ∫ 3 - x 3 1 + - 2 3 2 + - 2 3 2 d y d x = ∫ 0 3 ∫ 3 - x 3 17 9 d y d x

= 17 3 ∫ 0 3 ∫ 3 - x 3 d y d x = 17 3 ∫ 0 3 3 - 3 - x 0 3 = 17 3 ∫ 0 3 x d x

Assim nos resumimos a

17 3 x 2 2 0 3 = 3 17 2

A unidade não é nos dada, então terminamos definindo em unidade de área

Resposta

3 17 2   u . a

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Calcule a integral de superfície. ∬ ( x 2 z + y 2 z ) d S S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,z ≥ 0 .
Calcule a integral de superfície. ∬ ( x + y + z ) d S S é a parte da metade do cilindro x 2 + z 2 = 1 ,z ≥ 0 , que está entre os planos y = 0 e y = 2 .
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S S é parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × [ 0,2 ] .
Calcule a integral de superfície. ∬ y 2 d S S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que está acima do cone z = x 2 + y 2 .
Calcule a integral de superfície. ∬ x d S S é a superfície y = x 2 + 4 z , 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ z ≤ 1 .