Enunciado

Calcular a área da superfície do paraboloide y = 3 - ( x 2 + z 2 ) interceptado pelo plano y = 0

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Nossa função já foi dada em termos de y , entretanto precisamos fazer uma parametrização que nos ajude a trabalhar melhor nossa integração.

Vamos fazer

x = r cos ⁡ θ

z = r   s e n   θ

Assim temos

y = 3 - r 2

Precisamos nos lembrar de nossas aulas de geometria analítica e olhar para nossa quádrica e perceber que nosso paraboloide está virado para baixo, tendo como ponto mais alto y = 3 . Como ele intercepta com o plano y = 0 , temos que r ∈ 0 , 3 por consequência. Obviamente precisamos rotacionar nosso paraboloide para pegar todos os pontos, logo θ ∈ 0,2 π .

Nossa integral que era assim

A S = ∬ R 1 + ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 d x   d z

Precisa se transformar para r e θ , onde

d x d z = J d r d θ

Onde J é o nosso Jacobiano, que em coordenada cartesianas vale r .

Vamos mostrar?

O Jacobiano é definido como

∂ x , z ∂ r , θ = det ⁡ ∂ x ∂ r ∂ z ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ z ∂ θ   = ∂ x ∂ r ∂ z ∂ θ - ∂ z ∂ r ∂ x ∂ θ

Assim temos

J = r cos 2 ⁡ θ - - r   s e n 2 θ = r cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = r

Passo 3

Vamos agora integrar e finalmente terminar com isso hahaha

∂ y ∂ x = - 2 x = - 2 r cos ⁡ θ

e

∂ y ∂ z = - 2 z = - 2 r   s e n   θ

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 1 + - 2 r cos ⁡ θ 2 + - 2 r   s e n   θ 2 r   d r   d θ =

E ficamos com

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 1 + 4 r 2 r   d r   d θ

Vamos fazer uma pequena substituição

Fazendo 1 + 4 r 2 = u → r   d r = d u / 8 . Com isso nosso intervalo se altera da seguinte forma

r = 0 → u = 1

e

r = 3 → u = 13

E nossa integral

A S = 1 8 ∫ 0 2 π ∫ 1 13 u   d u   d θ

Simples, não?

Seguindo

A S = 1 8 ∫ 0 2 π 2 3 u 3 2 1 13 d θ = 1 12 13 13 - 1 ∫ 0 2 π d θ = 13 13 - 1 6 π

Exatamente o que eu acabei de olhar na resposta hahaha ... provando que o livro as vezes acerta.

Resposta

13 13 - 1 6 π   u . a

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