Enunciado

Encontre a área da superfície.

Parte da superfície x = z 2 + y que está entre os planos y = 0 ,   y = 2 ,   z = 0   e   z = 2 .

Passo 1

Pessoal, se uma superfície S tem uma equaçao da forma x = f ( y , z ) , onde ( y , z ) ∈ D e se f tem derivadas parciais contínuas, temos que:

A S = ∬ 1 + ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2 d A

Passo 2

Dado que x = z 2 + y , precisamos calcular primeiro as nossas derivadas parciais. Assim,

∂ x ∂ y = 1

∂ x ∂ z = 2 z

Portanto,

A S = ∬ 1 + 1 2 + ( 2 z ) 2 d A

A S = ∬ 2 + 4 z 2 d A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 2 + 4 z 2 d y d z

Passo 3

Resolvendo a integral, temos:

A S = ∫ 0 2 ∫ 0 2 2 + 4 z 2 d y d z = ∫ 0 2 y 2 + 4 z 2 0 2 d z

A S = ∫ 0 2 2 2 + 4 z 2 d z = 2 2 ∫ 0 2 1 + 2 z 2 d z

Para resolver essa integral, vamos usar o método da substituição! Seja u = 2 z   →     d u = 2 d z → d u 2 = d z . Os limites de integração vão mudar também. Eles vão mudar de 0 e 2 para 0   e 2 2 . Assim,

A S = 2 2 ∫ 0 2 2 1 + u 2   d u 2

A S = 2 ∫ 0 2 2 1 + u 2 d u

Usando a tabela de integrais, temos o seguinte resultado:

A S = 2 u 2 1 + u 2 + 1 2 ln ⁡ u + 1 + u 2 0 2 2

A S = 2 2 2 2 1 + 2 2 2 + 1 2 ln ⁡ 2 2 + 1 + 2 2 2 - 0

A S = 6 2 + ln ⁡ 2 2 + 3

Resposta

A área da superfície é:

A S = 6 2 + ln ⁡ 2 2 + 3

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Calcular a área da parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 compreendida no interior da superfície prismática 1 ≤ x ≤ 2 ,1 ≤ y ≤ 2 .
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