Enunciado

Determine as derivadas parciais indicadas.

f (x , y) = y s e n^(- 1) (x y) ; f_y (1 , (1)/(2))

Passo 1

Tá pedindo a derivada parcial em y no ponto ( 1 , (1)/(2) ) , então a gente faz a parcial de y e depois substitui o ponto. Nesse nem precisa fazer a derivada parcial em x !

Lembrando que s e n^(- 1) x = a r c s e n x e a derivada é (1)/(sqrt(1 - u^2)) . Vamos lá!!

f_y = s e n^(- 1) (x y) + y ((1)/(sqrt(1 - (x y)^2)) (x))

f_y = a r c s e n (x y) + (x y)/(sqrt(1 - (x y)^2))

Beleza, derivada parcial calculada!

Passo 2

Agora a gente joga o ponto e calcula:

f_y (1 , (1)/(2)) = a r c s e n (x y) + (x y)/(sqrt(1 - (x y)^2))

= a r c s e n ((1)/(2)) + ((1)/(2))/(sqrt(1 - ((1)/(2))^2))

= (pi)/(6) + ((1)/(2))/(sqrt(1 - (1)/(4)))

= (pi)/(6) + (1)/(2) (sqrt((3)/(4)))

= (pi)/(6) + (1)/(2) ((sqrt(3))/(2))

= (pi)/(6) + (sqrt(3))/(4)

Prontinho!! 😉

Resposta

(pi)/(6) + (sqrt(3))/(4)

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