Enunciado

Encontre as áreas das superfícies geradas girando as curvas nos Exercícios 31-34 em torno dos eixos indicados.

34. x = l n ( s e c t + t g   t ) ,   y = c o s   t ,   0 ≤ t ≤ π / 3 ,   e i x o   x

Passo 1

E aí, pessoal! Preparados? Vamos lá!

Basicamente, o que temos que fazer nessa questão é calcular a área da superfície gerada girando as curva

x = l n ( s e c t + t g   t ) ,   y = c o s   t ,   0 ≤ t ≤ π / 3 ,   e i x o   x

em torno do eixo x . Para isso, vamos usar a fórmula

S = ∫ 0 π / 3 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t

Lembrando que essa é a fórmula para quando a curva é girada em torno do eixo x . Se for em torno do eixo y , a gente troca y por x na fórmula da área.

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer é calcular as derivadas

d x d t = d d t [ l n ( s e c t + t g   t ) - s e n   t ] =   1 s e c t   +   t g   t d d t ( s e c t + t g   t ) - c o s t  

d x d t =   t g   t   s e c t   +   s e c 2 t s e c t   +   t g   t - c o s t =   ( s e c t   +   t g   t )   s e c t s e c t   +   t g   t - c o s t = s e c t - c o s t  

d y d t = d d t ( c o s   t ) =   - s e n   t  

Agora, a gente calcula a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = ( s e c t - c o s t ) 2 + s e n 2 t = s e c 2 t - s e c t c o s t + c o s 2 t + s e n 2 t  

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = s e c 2 t - s e c t c o s t + c o s 2 t + s e n 2 t  

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = s e c 2 t - 1 + 1   = s e c   t

onde usamos c o s 2 t + s e n 2 t = 1 e s e c t c o s t = c o s   t /   c o s   t   = 1 .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral

S = ∫ 0 π / 3 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t   = ∫ 0 π / 3 2 π ⋅ c o s   t ⋅ s e c   t   d t

Lembrando, novamente, que s e c t c o s t = c o s   t /   c o s   t   = 1 , então ficamos com

⇒ S = 2 π ∫ 0 π / 3 d t

⇒ S = 2 π t | 0 π / 3  

⇒ S = 2 π ( π / 3 - 0 )   = 2 π 2 3

Gostou de resolver essa questão comigo? Então, nos vemos na próxima!

Resposta

S = 2 π 2 3

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