Encontre as coordenadas do centróide da curva:

x = cos t + t sen t, y = sen t - t cos t, 0 <= t <= pi/2 .

Passo 1

Fala, galera! Estão confusos com esse negócio de centróide? Então vem comigo que a gente vai tentar entender isso melhor.

O centróide nada mais que o centro geométrico de um corpo, nesse caso, de uma curva. Quando esse corpo tem um formato bem regular, esse centro é fácil de calcular. Por exemplo, o centróide de uma esfera uniforme é o próprio centro da esfera. O centróide de uma reta uniforme é o ponto médio da reta. Mas, às vezes, a geometria do corpo é um pouquinho mais complicada e temos que usar a fórmula

x ̄ = M y M ,   y ̄ = M x M

onde

M = ∫ 0 π / 2 d m

é a massa da curva e

M x = ∫ y ~   d m ,   M y = ∫ x ~   d m

são os momentos da curva em relação a x e y .

Aqui, nós já usamos o intervalo dado no enunciado e d m é a massa de um elemento infinitesimal da curva. Para saber que massa é essa, temos que multiplicar a densidade de massa da curva pelo seu comprimento infinitesimal. Vamos considerar que a densidade é δ = 1 , então

d m = 1 ⋅ d s = d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então, a gente retorna para uma fórmula parecida com a de cálculo de comprimento da curva

M = ∫ 0 π / 2 d x d t 2 + d y d t 2 d t

Passo 2

Para usar a fórmula do Passo 1, a primeira coisa que temos que fazer é calcular as derivadas

d x d t = d d t ( c o s   t + t   s e n   t ) = - s e n   t + s e n   t + t   c o s   t = t   c o s   t  

d y d t = d d t (   s e n   t - t   c o s   t ) =   c o s   t   - c o s   t   + t   s e n   t   =   t   s e n   t  

Agora, a gente calcula a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = ( t   c o s   t ) 2 + ( t   s e n   t ) 2   = t 2 ( c o s 2 t + s e n 2 t )   = t ,

onde utilizamos o fato de que c o s 2 t + s e n 2 t = 1 . Logo, temos que

d m = d x d t 2 + d y d t 2 d t   =   t   d t

Passo 3

Agora, calculamos a integral

M = ∫ 0 π / 2 d m   = ∫ 0 π / 2 t   d t

⇒ M = t 2 2 0 π / 2 = 1 2 π 2 4 = π 2 8  

⇒ M = π 2 8

Passo 4

Agora que temos a massa da curva, temos que calcular os momentos da curva ( d m = t   d t ):

M x = ∫ y ~   d m = ∫ 0 π / 2 ( s e n   t - t   c o s   t ) t d t

⇒ M x = ∫ 0 π / 2 t s e n   t   d t - ∫ 0 π / 2 t 2   c o s   t   d t

M y = ∫ x ~   d m = ∫ 0 π / 2 ( c o s   t + t   s e n   t ) ⋅ t d t

⇒ M y = ∫ 0 π / 2 t   c o s   t   d t + ∫ 0 π / 2 t 2   s e n   t   d t

Temos quatro integrais que devem ser resolvidas por parte. Então, vamos lá!

( i )   ∫ 0 π / 2 t   s e n   t   d t = - t c o s t | 0 π / 2 + ∫ 0 π / 2 c o s t   d t = π 2 c o s   π 2 - 0 ⋅ c o s   ( 0 ) + s e n   t | 0 π / 2

⇒   ∫ 0 π / 2 t   s e n   t   d t = 0 - 0 + s e n     π 2 - s e n   ( 0 ) = 1

( i i ) ∫ 0 π / 2 t 2   c o s   t   d t = t 2   s e n   t | 0 π / 2 - 2 ∫ 0 π / 2 t s e n t   d t = π 2 4   - 2 ⋅ ( 1 ) = π 2 4 - 2

( i i i )   ∫ 0 π / 2 t   c o s   t   d t = t   s e n   t | 0 π / 2 - ∫ 0 π / 2 s e n t   d t = π 2   + c o s   t | 0 π / 2   = π 2 - 1  

( i v )   ∫ 0 π / 2 t 2 s e n   t   d t = t 2   c o s t | 0 π / 2 + 2 ∫ 0 π / 2 t c o s t   d t = 0 + 2 ⋅ π 2 - 1 = π - 2  

Passo 5

Juntando os resultados do último passo, ficamos com

M x = ∫ 0 π / 2 t s e n   t   d t - ∫ 0 π / 2 t 2   c o s   t   d t = 1 - π 2 4 - 2 =   - π 2 4 + 3   = 1 4 12   - π 2  

M y = ∫ 0 π / 2 t   c o s   t   d t + ∫ 0 π / 2 t 2   s e n   t   d t   = π 2 - 1 + π - 2   =   3 2 π   - 3 = 3 2 π   -   2  

Agora, só precisamos dividir por M = π 2 8 :

x ̄ = M y M = 3 2 π   -   2 π 2 8 = 3 2 π   -   2 ⋅ 8 π 2 = 12 π 2 ( π   - 2   ) =   12 π   - 24 π 2

  y ̄ = M x M = 1 4 12   - π 2 π 2 8 = 1 4 12   - π 2 ⋅ 8 π 2 = 2 π 2 ( 12   - π 2   ) = 24 π 2 - 2

Ufa, essa foi um pouquinho longa, né? Gostou? Então, nos vemos na próxima!

Resposta

x ̄ =   12 π   - 24 π 2

  y ̄ = 24 π 2 - 2

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