Enunciado

Encontre as assíntotas horizontal e vertical de cada curva. Se você tiver um dispositivo gráfico, confira pela curva gráfica as assíntotas estimadas:

y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😁

Nessa questão queremos obter as assíntotas verticais e horizontais da função

y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Lembra como fazemos isso? 👀

Bom, galera, pra esse problema a gente deve saber que a assíntota horizontal pode ser dada por:

A H = lim x → ∞ ⁡ f ( x )

E a vertical, é o valor que quanto x tender o função ir para o infinito:

lim x → A V ⁡ f ( x ) = ∞

Veja só! 😎

Passo 2

Beleza, então, vamos começar calculando a assíntota horizontal:

A H = lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Pra resolver esse limite, a gente põe o x de maior potência em evidência, bem assim:

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 → lim x → ∞ ⁡ x 2 2 + 1 x - 1 x 2 x 2 1 + 1 x - 2 x 2

→ lim x → ∞ ⁡ 2 + 1 x - 1 x 2 1 + 1 x - 2 x 2

Agora, a gente só aplica o limite, lembrando que quando um número é dividido por um número que tende ao infinito, ele tende a 0 , então:

→ lim x → ∞ ⁡ 2 + 1 x - 1 x 2 1 + 1 x - 2 x 2 → lim x → ∞ ⁡ 2 + 0 - 0 1 + 0 - 0 = 2 1

Nós encontramos assim:

A H = 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Show de bola, vou te contar um macetinho sobre como calcular as assíntotas verticais, e depois explicar porque isso.

Pra encontrar essa assíntota a gente só precisa encontrar o valor de x para quando o denominador (a parte debaixo da fração) for 0 .

Agora, o porque disso é bem simples, porque a assíntota não acontece quando o limite tende á infinito? Pois é, a função tende a infinito quando o denominador da função tende á 0 , mais ou menos assim:

lim x → 0 ⁡ f o x x a b  

Vamos usar isso agora, que vai ajudar a entender.

Obs.: Só não vale para quando esse valor de x fizer a parte de cima da função também ser 0 , porque aí é uma indefinição.

Legal, né? 👀

Passo 4

Pois é galera, vamos logo calcular essa assíntota vertical, bora pegar o limite:

lim x → A V ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Beleza, como eu disse no passo anterior, é só encontrar para que x o denominador vai ser 0 então:

x 2 + x - 2 = 0

Assim, resolvendo essa equação a gente acha:

x = A V = 1 ;   - 2

Vamos testar no numerador pra ver se não causa indefinição:

2 x 2 + x - 1 → 2 1 2 + ( 1 ) - 1 = 2

E

2 x 2 + x - 1 → 2 - 2 2 + ( - 2 ) - 1 = 5

Como não deu 0 tá tudo certo.

E aí! o que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

A H = 2

A V = 1 ;   - 2

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Seja f x = b x , em que 0b . Use o princípio da substituição para confirmar o comportamento assintótico dessa função ilustrado na Figura 0.5.1. [Sugestão f x = b x = e ln ⁡ b x = e ln ⁡ b x ] .
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