Enunciado

Encontre as assindotas horizontal e vertical de cada curva. Se você tiver um dispositivo gráfico, confira pela curva gráfica as assindotas estimadas:

y = 2 e x e x - 5

Passo 1

Então meu amigo, vamos partir para mais uma resolução. Aqui a gente vai encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função:

y = 2 e x e x - 5

  • Uma assíntota vertical ocorre quando a função se aproxima de um valor vertical específico à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor;
  • As assíntotas verticais podem ocorrer devido a valores que fazem com que a função se torne indefinida, como divisões por zero ou raízes de denominadores polinomiais;
  • Uma assíntota horizontal ocorre quando a função se aproxima de um valor horizontal específico à medida que a variável independente se aproxima de ou de - ∞ ;
  • Uma função pode ter uma assíntota horizontal em y = b se a função se aproxima de b à medida que x se aproxima de ± ∞

Boa galera, pra esse problema a gente deve saber que a assíntota horizontal pode ser dada por:

A H = lim x → ∞ ⁡ f ( x )

E a vertical, é o valor que quanto x tender o função ir para o infinito:

lim x → A V ⁡ f ( x ) = ∞

No final disso, iremos plotar o gráfico utilizando o GeoGebra, ele irá nos ajudar a sabermos se estamos certos em relação aos nossos cálculos.

Passo 2

Beleza, então, vamos começar calculando a assíntota horizontal:

A H = lim x → ∞ ⁡ 2 e x e x - 5

Pra resolver esse limite, a gente põe o x de maior potência em evidência, bem assim:

lim x → ∞ ⁡ 2 e x e x - 5 = lim x → ∞ ⁡ e x ( 2 ) e x 1 - 5 e x

Agora a gente simplifica o termo e x :

lim x → ∞ ⁡ 2 e x e x - 5 = lim x → ∞ ⁡ 2 1 - 5 e x

Agora, a gente só aplica o limite, lembrando que quando um número é dividido por um número que tende ao infinito, ele tende a 0 , então:

lim x → ∞ ⁡ 2 1 - 5 e x = lim x → ∞ ⁡ 2 1 - 0 = 2 1

Nesse caso, a assíntota horizontal é:

A H = 2

Precisamos agora calcular:

A H = lim x → - ∞ ⁡ 2 e x e x - 5

Precisamos checar se para o eixo - x também temos assíntotas horizontais:

A H = lim x → - ∞ ⁡ 2 e x e x - 5

Como estamos lidando com valores negativos de x :

A H = lim x → - ∞ ⁡ 2 e x 1 e x - 5

Agora calculando o limite de fato, temos:

A H = lim x → - ∞ ⁡ 0 0 - 5 = 0

Passo 3

Show de bola, vou te contar um macetinho sobre como calcular as assíntotas verticais, e depois explicar por que isso.

Pra encontrar essa assíntota a gente só precisa encontrar o valor de x para quando o denominador (a parte debaixo da fração) for 0 .

Agora, o porquê disso é bem simples, por que a assíntota não acontece quando o limite tende a infinito? Pois é, a função tende a infinito quando o denominador da função tende á 0 , mas não é de fato zero, como as assíntotas, que são linhas que as nossas funções chegam perto mas nunca tocam de fato.

Vamos usar isso agora, que vai ajudar a entender.

Passo 4

Pois é galera, vamos logo calcular essa assíntota vertical, bora pegar o limite:

lim x → A V ⁡ 2 e x e x - 5

Precisamos então descobrir qual valor x precisa se aproximar, mas nunca tocar, isto, qual valor de x - A v irá fazer nossa função explodir ao infinito.

Beleza, como eu disse no passo anterior, é só encontrar para que x o denominador vai ser 0 então:

e x - 5 = 0

Assim, resolvendo essa equação a gente acha:

x = A V = ln ⁡ 5 = 1,61

Vamos testar no numerador pra ver se não causa indefinição 0 0 :

2 e x → 2 e 1,61 = 10

Como o resultado do numerador não é 0 , então tá tudo certo.

Passo 5

Vamos ao gráfico então:

Onde podemos ver que de fato estamos certo sobre nossas análises.

Resposta

A H = 2

A V = 1,61

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