Enunciado

Encontre as assindotas horizontal e vertical de cada curva. Se você tiver um dispositivo gráfico, confira pela curva gráfica as assindotas estimadas:

y = 1 + x 4 x 2 - x 4

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos partir para essa resolução.

A gente tem a função:

y = 1 + x 4 x 2 - x 4

E precisamos encontrar as assíntotas horizontais e verticais dela. Antes de darmos inicio vamos dar uma revisada.

  • Uma assíntota vertical ocorre quando a função se aproxima de um valor vertical específico à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor;
  • As assíntotas verticais podem ocorrer devido a valores que fazem com que a função se torne indefinida, como divisões por zero ou raízes de denominadores polinomiais;
  • Uma assíntota horizontal ocorre quando a função se aproxima de um valor horizontal específico à medida que a variável independente se aproxima de ou de - ∞ ;
  • Uma função pode ter uma assíntota horizontal em y = b se a função se aproxima de b à medida que x se aproxima de ± ∞

Bom galera, pra esse problema a gente deve saber que a assíntota horizontal pode ser dada por:

A H = lim x → ∞ ⁡ f x

E a vertical, é o valor que quanto x tender o função ir para o infinito:

lim x → A V ⁡ f ( x ) = ∞

Após todos esses cálculos, iremos plotar o gráfico da função com o auxílio do GeoGebra para que possamos ver se estamos certos nas nossas considerações.

Passo 2

Beleza, então, vamos começar calculando a assíntota horizontal:

A H = lim x → ∞ ⁡ 1 + x 4 x 2 - x 4

Pra resolver esse limite, a gente põe o x de maior potência em evidência, bem assim:

lim x → ∞ ⁡ 1 + x 4 x 2 - x 4 = lim x → ∞ ⁡ x 4 1 x 4 + 1 x 4 1 x 2 - 1

Agora a gente simplifica o x 4 :

lim x → ∞ ⁡ 1 + x 4 x 2 - x 4 = lim x → ∞ ⁡ 1 x 4 + 1 1 x 2 - 1

Agora, a gente só aplica o limite, lembrando que quando um número é dividido por um número que tende ao infinito, ele tende a 0 , então:

lim x → ∞ ⁡ 1 + x 4 x 2 - x 4 = lim x → ∞ ⁡ 1 x 4 + 1 1 x 2 - 1

lim x → ∞ ⁡ 1 + x 4 x 2 - x 4 = lim x → ∞ ⁡ 0 + 1 0 - 1 = 1 - 1

Nós encontramos assim:

A H → y = - 1

Passo 3

Show de bola, vou te contar um macetinho sobre como calcular as assíntotas verticais, e depois explicar por que isso.

Pra encontrar essa assíntota a gente só precisa encontrar o valor de x para quando o denominador (a parte debaixo da fração) for 0 .

Agora, o porquê disso é bem simples, por que a assíntota não acontece quando o limite tende a infinito? Pois é, a função tende a infinito quando o denominador da função tende a 0 , mas não é de fato zero, como as assíntotas, que são linhas que as nossas funções chegam perto, mas nunca tocam de fato.

Vamos usar isso agora, que vai ajudar a entender.

Passo 4

Pois é galera, vamos logo calcular essa assíntota vertical, bora pegar o limite:

lim x → A V ⁡ 1 + x 4 x 2 - x 4

Beleza, como eu disse no passo anterior, é só encontrar para que x o denominador vai ser 0 então:

x 2 - x 4 = 0

Assim, resolvendo essa equação a gente acha:

x 2 1 - x 2 = 0

x = 0

x = ± 1

Temos então:

A V → x = - 1 ;   x = 0 ;   x = 1

Vamos testar no numerador pra ver se não causa indefinição do tipo 0 0 :

1 + x 4

x = - 1

1 + - 1 4 = 2

x = 0

1 + ( 0 ) 4 = 1

x = 1

1 + 1 4 = 2

Como não deu 0 tá tudo certo.

Passo 5

Vamos então agora ao gráfico:

E é isso, resolvemos o nosso problema e estamos corretos, pelo gráfico acima.

Resposta

A H → y = - 1

A V → x = - 1 ;   x = 0 ;   x = 1

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