Enunciado

Encontre as assíntotas horizontais e verticais

y = 2 e x e x - 5

Passo 1

Fala aí, pessoal.

Aqui nos é dada a função

y = 2 e x e x - 5

e a partir disso iremos encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função.

Então, vamos ver como fazer isso.

Pela definição,

A reta y = L é chamada de assíntota horizontal da curva y = f ( x ) se

lim x → ∞ ⁡ f x = L ou lim x → - ∞ ⁡ f x = L

Então quando tomamos o limite ao infinito da função, e encontramos um valor L , este valor é a assíntota horizontal da função. Beleza?

E para encontrar a assíntota vertical é muito simples, devemos pensar o seguinte:

“De que ponto a , os valores de x se aproximam que fazem a função ‘explodir’ para infinito” (podem ser um ou mais pontos)?”

lim x → a - ⁡ f x = ± ∞

lim x → a + ⁡ f x = ± ∞

Se existir esse valor de x que, ele será nossa assíntota vertical.

Vamos aplicar isso a nossa função.

Passo 2

Para encontrar a assíntota horizontal, tomaremos o limite da função quando x → ± ∞

Começado com x → + ∞

lim x → ∞ ⁡ 2 e x e x - 5

= 2 ⋅ lim x → ∞ ⁡ 1 1 - 5 e x

= 2 ⋅ 1 1 - 0

= 2 ⋅ 1 = 2

Logo, y = 2 é uma assíntota horizontal.

E para x → - ∞

lim x → - ∞ ⁡ 2 e x e x - 5

= 2 ⋅ lim x → - ∞ ⁡ e x lim x →   - ∞ ⁡ e x - 5

= 2 ⋅ 0 0 - 5 = 0

Logo, y = 0   também é uma assíntota horizontal

Passo 3

Para encontrar a assíntota vertical é muito simples, devemos pensar o seguinte:

“De que ponto a , os valores de x se aproximam que fazem a função ‘explodir’ para infinito” (podem ser um ou mais pontos)?”

lim x → a - ⁡ f x = ± ∞

lim x → a + ⁡ f x = ± ∞

ou seja,

lim x → a ⁡ 2 e x e x - 5 = ± ∞

Para encontrar o valor de a igualaremos o denominador a 0 , pois isso fará nossa função explodir, e calcularemos o valor de x . Então:

e x - 5 = 0

e x = 5

ln ⁡ e x = l n ⁡ ( 5 )

x ⋅ ln ⁡ e = ln ⁡ 5

x = ln ⁡ 5 ≈ 1,61

Logo, x = ln ⁡ 5 ≈ 1,61 é uma assíntota vertical.

Passo 4

Mostraremos agora uma comprovação gráfica do resultado obtido

Resposta

y = 0   e   y = 2 é uma assíntota horizontal

x ≈ 1,61 é uma assíntota vertical

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