Enunciado

Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função

f x = 4 x 2 x 2 - 9

Passo 1

Vamos começar pelas assíntotas horizontais.

Para encontra-las demos que calcular dois limites

lim x → + ∞ ⁡ f x

E

lim x → - ∞ ⁡ f x

Se agum desses limites der algum número, então teremos assíntotas horizontais.

Vamos começar com

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 4 x 2 x 2 - 9

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

4 x 2 x 2 - 9

Passo 2

O nosso numerador é

4 x 2

Aqui só temos 1 termo, então não precisamos colocar ninguém em evidência.

Passo 3

O nosso denominador vai ser

x 2 - 9

Colocando x 2 em evidência

x 2 1 - 9 x 2  

Passo 4

A nossa fração vai ficar

4 x 2 x 2 - 9 = 4 x 2 x 2 1 - 9 x 2 = 4 1 - 9 x 2

Agora, vamos tomar o limite

lim x → + ∞ ⁡ 4 x 2 x 2 - 9 = lim x → + ∞ ⁡ 4 1 - 9 x 2

Lembrando que o limite de um número sobre é sempre 0 , vamos ter

lim x → + ∞ ⁡ 4 1 - 9 x 2 = 4 1 - 0 = 4

Assim, temos

y = 4

Como uma assíntota horizontal.

Passo 5

Vamos para o outro limite

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 4 x 2 x 2 - 9

Temos a mesma situação de antes, então já podemos utilizar aquela fração final

lim x → - ∞ ⁡ 4 x 2 x 2 - 9 = lim x → - ∞ ⁡ 4 1 - 9 x 2 = 4 1 - 0 = 4

Teremos

y = 4

Como assíntota horizontal.

Passo 6

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

x 2 - 9 = 0

x 2 = 9

x = ± 9

x = ± 3

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais para cada x que achamos. Ou seja, calcular

lim x → 3 + ⁡ f x

E

lim x → 3 - ⁡ f x

lim x → - 3 + ⁡ f x

E

lim x → - 3 - ⁡ f x

Passo 7

Começando com

lim x → 3 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 3 + ⁡ 4 x 2 x 2 - 9 = 4 3 2 3 2 - 9 = 4.9 9 - 9 = 36 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 3 , neste caso, pela direita.

Pela direita, significa pegar valores maiores que 3 , logo o nosso denominador, que é x 2 - 9 , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo. Isso porque pegando números maiores que 3 , ao elevar ao quadrado vai dar mais que 9 . Quando subtrairmos 9 vai dar positivo.

O nosso numerador vai ser 4 x 2 que é um número ao quadrado. Então é sempre positivo.

Assim, nossa fração vai ser positiva, porque é divisão de positivo com positivo, para valores maiores que 3 .

E isso nos diz que

lim x → 3 + ⁡ 4 x 2 x 2 - 9 = + ∞

Passo 8

Começando com

lim x → 3 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 3 - ⁡ 4 x 2 x 2 - 9 = 4 3 2 3 2 - 9 = 4.9 9 - 9 = 36 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 3 , neste caso, pela esquerda.

Pela esquerda, significa pegar valores menores que 3 , logo o nosso denominador, que é x 2 - 9 , vai assumir valores menores que 0 , sendo negativo. Isso porque pegando números menores que 3 , ao elevar ao quadrado vai dar menos que 9 . Quando subtrairmos 9 vai dar negativo.

O nosso numerador vai ser 4 x 2 que é um número ao quadrado. Então é sempre positivo.

Assim, nossa fração vai ser negativa, porque é divisão de positivo com negativo, para valores maiores que 3 .

E isso nos diz que

lim x → 3 - ⁡ 4 x 2 x 2 - 9 = - ∞

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = 3

Passo 9

Agora o outro limite

lim x → - 3 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 3 + ⁡ 4 x 2 x 2 - 9 = 4 - 3 2 - 3 2 - 9 = 4.9 9 - 9 = 36 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 3 , neste caso, pela direita.

Pela direita, significa pegar valores maiores que - 3 , logo o nosso denominador, que é x 2 - 9 , vai assumir valores menores que 0 , sendo positivo. Isso porque pegando números maiores que - 3 , ao elevar ao quadrado vai dar menos que 9 . Esses números são - 2 virgula alguma coisa, elevando ao quadrado o sinal fica positivo. Quando subtrairmos 9 vai dar ngativo.

O nosso numerador vai ser 4 x 2 que é um número ao quadrado. Então é sempre positivo.

Assim, nossa fração vai ser negativa, porque é divisão de negativo com positivo, para valores maiores que - 3 .

E isso nos diz que

lim x → - 3 + ⁡ 4 x 2 x 2 - 9 = - ∞

Passo 10

Começando com

lim x → - 3 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 3 - ⁡ 4 x 2 x 2 - 9 = 4 - 3 2 - 3 2 - 9 = 4.9 9 - 9 = 36 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 3 , neste caso, pela esquerda.

Pela esquerda, significa pegar valores menores que - 3 , logo o nosso denominador, que é x 2 - 9 , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo. Esses números são - 3 virgula alguma coisa, elevando ao quadrado o sinal fica positivo Quando subtrairmos 9 vai dar positivo.

O nosso numerador vai ser 4 x 2 que é um número ao quadrado. Então é sempre positivo.

Assim, nossa fração vai ser positiva, porque é divisão de positivo com positivo, para valores maiores que - 3 .

E isso nos diz que

lim x → - 3 - ⁡ 4 x 2 x 2 - 9 = + ∞

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = - 3

Passo 11

As assíntotas verticais são

x = 3

x = - 3

Vamos juntar com nossa assíntota horizontal

y = 4

E ver como fica o esboço.

O esboço vai ficar

Resposta

Assíntota horizontal:

y = 4

Assíntota vertical:

x = 3

x = - 3

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Ache o limite lim y → + ∞ ⁡ 2 y 2 - 3 y y + 1
Ache o limite lim w → - ∞ ⁡ w 2 - 2 w + 3 w + 5
Ache o limite lim x → + ∞ ⁡ 1 + 5 x 2 - 3 x
Ache o limite: lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 5 x 3
Ache o limite lim x → - ∞ ⁡ 5 x 3 - 12 x + 7 4 x 2 - 1