Enunciado

Nos Exercícios de 29 a 31:

  1. Ache os pontos de inflexão do gráfico da função trigonométrica dada;
  2. Ache a inclinação das retas tangentes nos pontos de inflexão;
  3. Faça um esboço do gráfico da função num intervalo de 2 π de comprimento e contendo o ponto de inflexão com menor abscissa positiva, e mostre um segmento da reta tangente nesse ponto de inflexão.

30 )   F u n ç ã o   t a n g e n t e

Passo 1

Para a letra a precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, devemos obter a derivada segunda da nossa função:

f x = tg ⁡ x

f ' x = s e c ²   x

f ' ' x = 2 . s e c ² x . t g x

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 . Então:

f ' ' x = 2 . s e c ² x . t g x = 0

Sabendo que:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Este termo não poderá ser igual a 0. Então para que f ' ' x seja igual a 0:

t g x = 0

Para que essa igualdade seja satisfeita:

x = k π ,                 k   é   n ú m e r o   i n t e i r o

Analisando a mudança da concavidade:

x = k π são pontos de inflexão.

Passo 2

Na letra b, precisamos lembrar que a inclinação das retas tangentes é dada pela derivada primeira da função. Sendo assim:

f ' x = s e c ²   x = ( 1 cos ⁡ x ) ²

Para os pontos de inflexão:

x = k π

x = π         o u           x = 2 π    

A inclinação da reta tangente no ponto x = 1 2 π :        

f ' π = ( 1 cos ⁡ π ) ² = 1

E no ponto x = 2 π :        

f ' 2 π = ( 1 cos ⁡ 2 π ) ² = 1

Para todo k:

f ' x = 1

Passo 3

Na letra c, desenhamos a função tangente no intervalo de 0 até 2 π e traçamos a reta tangente no ponto de inflexão com menor abscissa positiva ( π ).

Resposta

  1. Pontos de inflexão: x = k π
  2. Inclinação da reta tangente = 1
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