Enunciado

Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x

Passo 1

Pra calcular esse limite, a gente vai ter que fazer aparecer o limite fundamental que a gente conhece de sempre:

lim y → 0 ⁡ s e n y y = 1

Esse y pode ser qualquer coisa, só importa que esteja igual no numerador e no denominador!

Passo 2

Vamos começar usando o arco duplo no cosseno:

cos ⁡ x = 1 - 2 s e n 2 x 2

1 - c o s x = 2 s e n 2 x 2

Substituindo lá no limite:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ 2 s e n 2 x 2 x

Como o seno está ao quadrado, pra usar o limite fundamental vamos precisar de outro x embaixo, então já vamos botar lá.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 2 lim x → 0 ⁡ x s e n 2 x 2 x 2

Vamos separar essa expressão em vários limites.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 2 lim x → 0 ⁡ x lim x → 0 ⁡ s e n x 2 x 2

Multiplicando por 1 2 em cima e embaixo:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 2 lim x → 0 ⁡ x 1 2 lim x → 0 ⁡ s e n x 2 x 2 2

Beleza, ali dentro ficou o limite fundamental, que vale 1 .

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 2 lim x → 0 ⁡ x 1 2 2

E agora, só sobrou aquele x . O limite dele com x tendendo a 0 vale 0 , certo? Daí,

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 2 × 0 × 1 4

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 0

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