Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 54
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
- Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximos e mínimos locais.
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
- Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de .
Passo 1
Vamos resolver por ordem dos itens, beleza?
No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular o limite.
Primeiro, vamos achar assíntota horizontal,
Não temos.
Já vertical,
é assíntota vertical.
Passo 2
Vamos resolver o item b) agora.
No item b) precisamos achar onde cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontrá-los.
Derivando , usando a regra do produto, temos que
Arrumando as contas,
Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos. Um já temos que é , pois
Ou seja,
Precisamos que
Resolvendo, por Bhaskara,
ou
Esses são os candidatos.
Passo 3
Agora, precisamos analisar as proximidades desse ponto para usar o teste da primeira e obter os máximos e mínimos (ou não hahah)
Temos que
- se
- se
(você pode verificar isso pegando números no intervalo que te dei e aplicando na derivada).
Pelo teste da primeira derivada, è decrescente em e
Passo 4
Respondendo o item c)...
Vamos usar o item anterior, olha só!
é máximo, pois sai de crescente para decrescente. Não existe mínimo .
Passo 5
Precisamos saber da concavidade da função, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.
Usando a regra do quociente, temos que
Arrumando as contas,
Perceba que nosso primeiro candidato a ponto de inflexão é pois nele a está mal definida. Vamos achar o resto agora, ou seja:
Sendo assim, temos:
Portanto, o nosso outro candidato a ponto de inflexão é .
Passo 6
Agora temos que analisar o que acontece nas proximidades dos pontos que encontramos no passo anterior, somente assim iremos concluir se eles são pontos de inflexão ou não. Então, vamos lá!
Perceba que (x) é positiva até , após isso a função passa a ser negativa. Logo, podemos concluir que é um ponto de inflexão, uma vez que .
(você pode verificar isso pegando números quaisquer números e substituindo em (x)).
Passo 7
Agora, temos que esboçar o gráfico. Partiu!
Resposta
è decrescente em e . Além disso, possui concavidade para cima em e para baixo , sendo o ponto de inflexão.