Enunciado

  1. Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
  2. Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
  3. Encontre os valores máximos e mínimos locais.
  4. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
  5. Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de f .

f x = x - 1 6 x 2 - 2 3 ln ⁡ x  

Passo 1

Vamos resolver por ordem dos itens, beleza?

No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular o limite.

Primeiro, vamos achar assíntota horizontal,

lim x → ∞ ⁡ ( x - 1 6 x 2 - 2 3 ln ⁡ x   )     = ∞

Não temos.

Já vertical,

lim x → 0 ⁡ ( x - 1 6 x 2 - 2 3 ln ⁡ x   )   = ∞

x = 0 é assíntota vertical.

Passo 2

Vamos resolver o item b) agora.

No item b) precisamos achar onde f cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontrá-los.

Derivando f , usando a regra do produto, temos que

f ' x = 1 - 1 3 x - 2 3 x

Arrumando as contas,

f ' x = 3 x - x 2 - 2 3 x

Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos. Um já temos que é x = 0 , pois x = 0 ∉ D f '  

f ' x = 0

Ou seja,

3 x - x 2 - 2 3 x = 0

Precisamos que

3 x - x 2 - 2 = 0  

Resolvendo, por Bhaskara,

x = 1 ou x = 2

Esses são os candidatos.

Passo 3

Agora, precisamos analisar as proximidades desse ponto para usar o teste da primeira e obter os máximos e mínimos (ou não hahah)

Temos que

  1. f ' x < 0 , se x ∈ 0 ,   2
  2. f ' x < 0 , se x ∈ ( 2 ,   ∞ )

(você pode verificar isso pegando números no intervalo que te dei e aplicando na derivada).

Pelo teste da primeira derivada, f è decrescente em 0 ,   2 e ( 2 ,   ∞ ) .

Passo 4

Respondendo o item c)...

Vamos usar o item anterior, olha só!

  f ( 0 ) é máximo, pois sai de crescente para decrescente. Não existe mínimo .

Passo 5

Precisamos saber da concavidade da função, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.

Usando a regra do quociente, temos que

f ' ' x = - 1 3 + 2 3 x 2

Arrumando as contas,

f ' ' ( x ) = - x 2 + 2 3 x 2

Perceba que nosso primeiro candidato a ponto de inflexão é x = 0 , pois nele a f ' ' está mal definida. Vamos achar o resto agora, ou seja:

f ' ' ( x ) = 0

Sendo assim, temos:

- x 2 + 2 = 0

- x 2 = - 2

x 2 = 2

x = 2

Portanto, o nosso outro candidato a ponto de inflexão é x = 2 .

Passo 6

Agora temos que analisar o que acontece nas proximidades dos pontos que encontramos no passo anterior, somente assim iremos concluir se eles são pontos de inflexão ou não. Então, vamos lá!

Perceba que f ' ' (x) é positiva até x = 2 , após isso a função passa a ser negativa. Logo, podemos concluir que x = 2 é um ponto de inflexão, uma vez que f ' ' 2 = 0 .

(você pode verificar isso pegando números quaisquer números e substituindo em f ' ' (x)).

Passo 7

Agora, temos que esboçar o gráfico. Partiu!

Resposta

f è decrescente em 0 ,   2 e 2 ,   ∞ . Além disso, f possui concavidade para cima em 0 ,   2 e para baixo 2 ,   ∞ , sendo x = 2 o ponto de inflexão.

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