Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 46
(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.
(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de .
Passo 1
Item a:
A assíntota vertical pode ser obtida nesse caso pelo limite de quando converge para o valor onde o denominador é zero que é .
Então:
As assíntotas horizontais são os valores que converge quando tende aos infinitos:
E
Passo 2
Item b:
Se
Então:
Para crescente:
Para decrescente:
ou
Então, nos intervalos e é decrescente e no intervalo é crescente.
Passo 3
Item c:
Se decresce até e cresce a partir daí, então temos um mínimo local e seu valor é:
não faz parte do gráfico pois não está definida nesse ponto.
Passo 4
Item d:
Se
Então:
Para com concavidade para cima:
Para com concavidade para baixo:
Então, no intervalo possui concavidade voltada para baixo e no intervalo possui concavidade para cima.
O ponto de inflexão então é .
Passo 5
Item e:
Pelas informações obtidas temos o gráfico:
Resposta
(a)
E
(b) Nos intervalos e é decrescente e no intervalo é crescente.
(c) Temos um mínimo local em .
(d) No intervalo possui concavidade voltada para baixo e no intervalo possui concavidade para cima.
O ponto de inflexão então é .
(e)