Enunciado

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(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.

(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.

(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f .

f x = x x - 1 2

Passo 1

Item a:

A assíntota vertical pode ser obtida nesse caso pelo limite de f quando x converge para o valor onde o denominador é zero que é x = 1 .

Então:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ x x - 1 2 = ∞ lim x → 1 - ⁡ x x - 1 2 = ∞

As assíntotas horizontais são os valores que f converge quando x tende aos infinitos:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x x - 1 2 =   0

E

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x x - 1 2 =   0

Passo 2

Item b:

Se

f x = x x - 1 2

Então:

f ' x = - 1 + x x - 1 3

Para f crescente:

f ' x > 0

- 1 + x x - 1 3 > 0

- 1 < x < 1

Para f decrescente:

f ' x < 0

- 1 + x x - 1 3 < 0

x < - 1 ou x > 1

Então, nos intervalos - ∞ , - 1 e 1 , ∞ f é decrescente e no intervalo - 1,1 f é crescente.

Passo 3

Item c:

Se f decresce até x = - 1 e cresce a partir daí, então temos um mínimo local e seu valor é:

f - 1 = - 1 - 1 - 1 2 = - 1 4

f - 1 = - 1 4

x = 1 não faz parte do gráfico pois f não está definida nesse ponto.

Passo 4

Item d:

Se

f ' x = - 1 + x x - 1 3

Então:

f ' ' x = 2 ( x + 2 ) x - 1 4

Para f com concavidade para cima:

f ' ' x > 0

2 ( x + 2 ) x - 1 4 > 0

x > - 2

Para f com concavidade para baixo:

f ' ' x < 0

2 ( x + 2 ) x - 1 4 < 0

x < - 2

Então, no intervalo - ∞ , - 2 f possui concavidade voltada para baixo e no intervalo - 2 , ∞ f possui concavidade para cima.

O ponto de inflexão então é x = - 2 .

Passo 5

Item e:

Pelas informações obtidas temos o gráfico:

Resposta

(a)

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ x x - 1 2 = ∞ lim x → 1 - ⁡ x x - 1 2 = ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x x - 1 2 =   0

E

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x x - 1 2 =   0

(b) Nos intervalos - ∞ , - 1 e 1 , ∞ f é decrescente e no intervalo - 1,1 f é crescente.

(c) Temos um mínimo local em - 1 , - 1 4 .

(d) No intervalo - ∞ , - 2 f possui concavidade voltada para baixo e no intervalo - 2 , ∞ f possui concavidade para cima.

O ponto de inflexão então é x = - 2 .

(e)

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