Enunciado

(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.

(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.

(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f .

f x = 1 + x 2 1 - x 2

Passo 1

Item a:

A assíntota vertical pode ser obtida nesse caso pelo limite de f quando x converge para o valor onde o denominador é zero que é x = 1 ou x = - 1 .

Então:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ 1 + x 2 1 - x 2 = - ∞ lim x → 1 - ⁡ 1 + x 2 1 - x 2 = ∞

E

lim x → - 1 ⁡ f ( x ) = lim x → - 1 + ⁡ 1 + x 2 1 - x 2 = ∞ lim x → - 1 - ⁡ 1 + x 2 1 - x 2 = - ∞

As assíntotas horizontais são os valores que f converge quando x tende aos infinitos:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 1 + x 2 1 - x 2 =   - 1

E

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 1 + x 2 1 - x 2 =   - 1

Passo 2

Item b:

Se

f x = 1 + x 2 1 - x 2

Então:

f ' x = 4 x 1 - x 2 2

Para f crescente:

f ' x > 0

4 x 1 - x 2 2 > 0

x > 0

Para f decrescente:

f ' x < 0

4 x 1 - x 2 2 < 0

x < 0

Então f é crescente no intervalo ( 0 , ∞ ) e decrescente em - ∞ , 0 .

Passo 3

Item c:

Se f decresce até x = 0 e cresce a partir daí, então temos um mínimo local e seu valor é:

f 0 = 1 + 0 1 - 0

f 0 = 1

Passo 4

Item d:

Se

f ' x = 4 x 1 - x 2 2

Então:

f ' ' x = 4 ( 3 x 2 + 1 ) 1 - x 2 3

Para f com concavidade para cima:

f ' ' x > 0

4 3 x 2 + 1 1 - x 2 3 > 0

- 1 < x < 1

Para f com concavidade para baixo:

f ' ' x < 0

4 3 x 2 + 1 1 - x 2 3 < 0

x < - 1 ou x > 1

Então, nos intervalos - ∞ , - 1 e 1 , ∞ f possui concavidade voltada para baixo e no intervalo - 1,1 f possui concavidade para cima.

Os pontos de inflexão então são x = - 1 e x = 1 .

Passo 5

Item e:

Pelas informações obtidas temos o gráfico:

Resposta

(a)

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ 1 + x 2 1 - x 2 = - ∞ lim x → 1 - ⁡ 1 + x 2 1 - x 2 = ∞

E

lim x → - 1 ⁡ f ( x ) = lim x → - 1 + ⁡ 1 + x 2 1 - x 2 = ∞ lim x → - 1 - ⁡ 1 + x 2 1 - x 2 = - ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 1 + x 2 1 - x 2 =   - 1

E

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 1 + x 2 1 - x 2 =   - 1

(b) f é crescente no intervalo ( 0 , ∞ ) e decrescente em - ∞ , 0 .

(c) Temos um mínimo local em 0,1 .

(d) Nos intervalos - ∞ , - 1 e 1 , ∞ f possui concavidade voltada para baixo e no intervalo - 1,1 f possui concavidade para cima.

Os pontos de inflexão então são x = - 1 e x = 1 .

(e)

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