Enunciado

(a) Use um gráfico de f para estimar os valores máximo e mínimo. Então, encontre os valores exatos.

(b) Estime o valor de x em que f cresce mais rapidamente. Então, encontre o valor exato.

f x = x 2 e - x

Passo 1

Item a:

O gráfico de f é:

Podemos ver que f tem um valor máximo local, próximo de 0,55 para um valor de x próximo de 2 e um valor mínimo local próximo de zero para um valor de x próximo de zero.

Para achar o valor exato, buscamos os valores de x próximos de 0 e 2 em que a derivada de f é nula, então:

Se

f x = x 2 e - x

Então:

f ' x = 2 e - x x - e - x x 2

f ' x = x e - x ( 2 - x )

Para f ' x = 0 .

x e - x ( 2 - x ) = 0

x = 0 ou x = 2

Logo, o ponto de máximo local ocorre em x = 2 e o valor de máximo é:

f 2 = 2 2 e - 2

f 2 = 4 e 2 ≈ 0,5413

E o ponto de mínimo local ocorre em x = 0 e o valor de máximo é:

f 0 = 0 2 e - 0

f 0 = 0

Passo 2

Item b:

Temos que f cresce mais rápido em algum lugar de x próximo de 0,5 .

Para achar o valor exato, sabemos que uma função cresce mais rápido quando possui a maior inclinação e, portanto, a maior derivada. Logo, a derivada segunda é nula para que f ' seja máxima:

Se

f ' x = x e - x 2 - x

Então:

f ' ' x = e - x x 2 - 4 e - x x + 2 e - x

f ' ' x = e - x x 2 - 4 x + 2

Então, para f ' ' x = 0 :

e - x x 2 - 4 x + 2 = 0

x 2 - 4 x + 2 = 0

x - 2 2 - 4 + 2 = 0

x - 2 2 = 2

x = 2 ± 2

E como queremos algum valor de x próximo de 0,5 :

x = 2 - 2 ≈ 0,58579

Então f cresce mais rápido em x = 2 - 2 .

Resposta

(a) O ponto de máximo local ocorre em 2 , 4 e 2 e ponto de mínimo local ocorre em 0 , 0 .

(b) f cresce mais rápido em x = 2 - 2 .

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