Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 56
(a) Use um gráfico de para estimar os valores máximo e mínimo. Então, encontre os valores exatos.
(b) Estime o valor de em que cresce mais rapidamente. Então, encontre o valor exato.
Passo 1
Item a:
O gráfico de é:
Podemos ver que tem um valor máximo local, próximo de para um valor de próximo de e um valor mínimo local próximo de zero para um valor de próximo de zero.
Para achar o valor exato, buscamos os valores de próximos de e em que a derivada de é nula, então:
Se
Então:
Para .
ou
Logo, o ponto de máximo local ocorre em e o valor de máximo é:
E o ponto de mínimo local ocorre em e o valor de máximo é:
Passo 2
Item b:
Temos que cresce mais rápido em algum lugar de próximo de .
Para achar o valor exato, sabemos que uma função cresce mais rápido quando possui a maior inclinação e, portanto, a maior derivada. Logo, a derivada segunda é nula para que seja máxima:
Se
Então:
Então, para :
E como queremos algum valor de próximo de :
Então cresce mais rápido em .
Resposta
(a) O ponto de máximo local ocorre em e ponto de mínimo local ocorre em.
(b) cresce mais rápido em .