Enunciado

Encontre a carga no capacitor em um circuito em série L-R-C no instante t = 0,01 segundo quando L = 0,05   h e n r y ,   R = 2   o h m s ,   C = 0,01   f a r a d ,     E t = 0   v o l t , q 0 = 5   c o u l o m b s   e i 0 = 0   a m p è r e .

Determine o primeiro instante no qual a carga do capacitor é zero.

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, a equação diferencial que relaciona a carga de um circuito é dada por:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Substituindo o que a questão nos deu, nossa equação fica:

0,05   q ' ' + 2 q ' + 1 0,01 q = 0

1 20 q ' ' + 2 q ' + 100 q = 0

Agora vamos resolver essa EDO!

Passo 2

Essa é uma EDO homogênea de coeficientes constantes, então a gente resolve através da equação auxiliar:

1 20 m 2 + 2 m + 100 = 0

Resolvendo...

Δ = 4 - 20 = - 16

x ' = - 20 + 40 i

x ' ' =   - 20 - 40 i

A solução então é:

q = e - 20 t ( c 1 cos ⁡ 40 t + c 2 sen ⁡ 40 t )

Essa é a solução geral, mas a gente quer a solução pra um caso específico, então vamos lá...

Passo 3

Vamos usar nossas condições iniciais para descobrir c 1 e   c 2 ...

q 0 = 5   c o u l o m b s   e i 0 = q ' ( 0 ) = 0   a m p è r e

Substituindo na solução:

q 0 = e - 20 ⋅ 0 c 1 cos ⁡ 40 0 + c 2 sen ⁡ 40 0 = 5

c 1 = 5

E derivando a solução, temos:

q ' = - 20 e - 20 t c 1 cos ⁡ 40 t + c 2 sen ⁡ 40 t + e - 20 t ( - 40 c 1 sen ⁡ 4 t + 40 c 2 cos ⁡ 40 t )

Agora a gente vai substituir q ' 0 = 0 ...

q ' 0 =   - 20 e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 + e 0 ( - 40 c 1 sen ⁡ 0 + 40 c 2 cos ⁡ 0 )

= - 20 c 1 + 40 c 2 = 0  

Como c 1 = 5 , temos:

= - 20 5 + 40 c 2 = 0

c 2 = 100 40 =   5 2

Passo 4

A solução então é:

q ( t ) = e - 20 t ( 5 cos ⁡ 40 t + 5 2 sen ⁡ 40 t )

Para o tempo q = 0,01 , então temos:

q 0,01 = e - 20 0,01 5 cos ⁡ 40 0,01 + 5 2 sen ⁡ 40 0,01 ≈ 4,5 7   c o u l o m b s

E o primeiro momento em que essa carga é zero é quando:

5 cos ⁡ 40 t + 5 2 sen ⁡ 40 t = 0

O valor de t que faz isso é t = 0,0509   s e g u n d o s .

E agora acabamos!

Resposta

4,57   c o u l o m b s     e   t = 0,0509   s e g u n d o s  

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