Encontre o centroide da região.

Passo 1

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Passo 2

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

Para achar os limitantes da região no eixo x , precisamos fazer a intercessão entre curvas:

y = 2 - x 2 , y = x ∴ 2 - x 2 = x

Resolvendo a equação:

x = - 2 ,     x = 1

Mas, inferiormente, nosso x está visivelmente limitado em 0 , por isso no eixo x nossa região está entre 0 e 1 , e no eixo y , nossa região está entre y = f x = 2 - x 2   (por cima) e y = g x = x (por baixo).

A área pode ser calculada pela integral:

á r e a   d e   R = ∫ 0 1 2 - x 2 - x d x = 7 6

Nossa integral fica:

x - = 6 7   ∫ 0 1 x 2 - x 2 - x d x

Fazendo a distributiva e calculando a integral dos polinômios:

x - = 5 14

Passo 3

Agora a coordenada y - :

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

y - = 6 7 ∫ 0 1 1 2 2 - x 2 2 - x 2 d x = 38 35

Resposta

x - , y - = 5 14 , 38 35

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