Enunciado

Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:

d)   σ t = t ,   3 t 2 ,   6 t 3 ,                           0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Aplicação diretaaassa de fórmula galera. O comprimento do caminho da partícula é dado por:

L C = ∫ a b σ ' t d t

Nesse caso, temos:

σ t = t ,   3 t 2 ,   6 t 3 ,                           0 ≤ t ≤ 2

σ ' t = 1,6 t , 18 t 2

σ ' t = 1 2 + 6 t 2 + 18 t 2 2

σ ' t = 1 + 36 t 2 + 18 2 t 4

σ ' t = 1 + 2 ∙ 18 ∙ t 2 + 18 2 ∙ t 4

σ ' t = 1 + 18 t 2 2

σ ' t = 1 + 18 t 2

O comprimento do arco será então:

L C = ∫ 0 2 1 + 18 t 2   d t

L C = t + 6 t 3 0 2 = 2 + 6 ∙ 2 3 - 0 - 6 ∙ 0 3 = 50

Resposta

L C = 50     u . c .

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Calcule a curvatura e o raio de curvatura da curva γ t = R cos ⁡ t , R sin ⁡ t ( R0 fixo).
Reparametrize pelo comprimento de arco a curva de γ dada por: γ t = e t cos ⁡ t , e t sin ⁡ t ,t ≥ 0
Seja γ : I → R 2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com γ ' t ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u , t ∈ I , com t 0 fixo em I . Sejam, ainda, T → t = γ ' t γ ' t o versor de γ ' t e t →
Dê exemplos de curvas γ e δ tais que I mγ = I mδ , mas que seus comprimentos sejam diferentes.