Enunciado

Seja γ : a . b → R n , com derivada contínua, e tal que γ ' u ≠ 0 em a , b . Seja s : a , b → R dada por s t = ∫ a t γ ' u d u .

a) Verifique que a função s = s t é inversível e seja t = t s sua inversa.

b) Verifique que a curva δ : 0 , L → R n ( L é o comprimento de γ ) dada por δ s = γ t s está parametrizada pelo comprimento de arco. Dizemos que δ é a reparametrização de γ pelo comprimento de arco.

Passo 1

Nesta questão, é pedido para calcular a função inversa do comprimento de arco. Mas o que que é isto?

Bem, por definição, s t nada mais é do que a largura do barbante γ entre a marcação a e a marcação t .

Podemos saber a largura s do barbante com base na diferença das marcações t e a . Ou, também, podemos saber a marcação t a partir de a e da largura s do barbante. Esta última opção é nada menos que uma função inversa t s , que vemos descobrir já já.

Passo 2

Como obter a inversa t s a partir de s t ? Olha, você é capaz de perceber que, se tomarmos t s t obteremos a t ? Ótimo! Deduzimos que

t s t = t

Agora, vamos aplicar a função s ( ) nos dois lados dessa equação, obtendo:

s t s t = s t

É muito parêntese, mas dá pra entender legal, não é? Pois bem, agora vamos DERIVAR esta última equação em relação a t :

s t s t ' = s ' t

Chegamos a algum lugar mesmo? Pareceria que não, mas, usando a regra da cadeia no lado esquerdo da equação obtemos

s t s t ' = s ' t s t t ' s t s ' t = s ' t  

Agora, usamos o fato de que s ' t ≠ 0 , o que nos permite dividir ambos os lados da equação por este valor, obtendo

s ' t s t t ' s t = 1  

Limpando algumas coisas pra deixar a expressão mais bonitinha, concluímos que

t ' s = 1 s ' t  

Ou seja, embora já saibamos disso intuitivamente, realmente existe uma função inversa de s , e temos inclusive uma fórmula para ela!

Passo 3

No item b), devemos mostrar que a curva δ s está parametrizada pelo comprimento de arco. Como fazer isso? Bem, de um exercício anterior, sabemos que δ s está paremetrizada pelo comprimento de arco quando se tem δ ' s = 1 . Vamos provar esta última expressão então, através de uns tantos algebrismos.

Passo 4

Vamos partir do que já sabemos:

δ s = γ t s

Derivando com a regra da cadeia, obtemos

δ ' s = γ t s ' = γ ' t s t '

Agora, substituindo o resultado para t ' que acabamos de obter no item anterior, ficamos com

δ ' s = γ ' t s ' t

Mas, por definição

s t = ∫ a t γ ' u d u

Ou, derivando esta expressão,

s ' t = γ ' t

Ou seja,

δ ' s = γ ' t γ ' t

Portanto,

δ ' s = γ ' t γ ' t = 1

Como queríamos provar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dois pontos A e B num círculo unitário de centro na origem determinam um setor circular A O B . Mostre que o comprimento do arco A B é duas vezes a área do setor A O B .
Uma curva é a união de duas curvas C 1 e C 2 , onde C 1 é um segmento de reta e C 2 é uma porção de circunferência, conforme a figura 1.16 . Pede-se: b ) Comprimento total de C .
Uma curva é a união de duas curvas C 1 e C 2 , onde C 1 é um segmento de reta e C 2 é uma porção de circunferência, conforme a figura 1.16 . Pede-se: a ) Parametrice as curvas C 1 e C 2 .
5-Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por σ t = ( t - s e nt ,1 - cos ⁡ t ) , 0 ≤ t ≤ 2 π b)Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [ t 1 ,t 2 ]
Esboce as retas nos Exercícios 23-28. Determine também uma equação cartesiana para cada reta. r c o s θ - 3 π 4 = 2 2