Encontre o comprimento da curva y = x^2 de x = 0 ax = 1 .

Passo 1

Então galera, de acordo com a seção 6.4 do Anton, vimos que parar calcularmos o comprimento de uma curva plana, devemos encontrar:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

No qual a e b são os intervalos dados pelo enunciado e f ( x ) é a curva em questão! De início, temos que nossa função é:

f x = x 2

Então nossa derivada, ou seja, f ' x será:

f ' x = 2 x

Então nossa integral será:

L = ∫ 0 1 1 + 2 x 2 d x

Passo 2

Ok, agora que encontramos a integral que temos que resolver, mãos a obra! Como aparece uma raíz do tipo a 2 + x 2 no nosso numerador, então vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica, saca só:

2 x = a . tan ⁡ θ

Disso tiramos que:

x = 1 2 tan ⁡ θ

d x = 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo os novos valores na nossa integral, teremos:

∫ 0 1 1 + 2 x 2 d x = 1 2 ∫ 0 1 1 + tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Como sec 2 ⁡ θ = tan 2 ⁡ θ + 1 , então podemos fazer:

1 2 ∫ 0 1 1 + tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 0 1 sec 3 ⁡ θ d θ

Show, simplificamos bastante nossa integral, gente!

Passo 3

Utilizando a mesma substituição do passo anterior, teremos:

1 2 ∫ 0 1 sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 0 1 1 + tan 2 ⁡ θ . sec ⁡ θ d θ

Disso podemos separar duas integrais:

1 2 ∫ 0 1 1 + tan 2 ⁡ θ . sec ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 0 1 sec ⁡ θ d θ + 1 2 ∫ 0 1 tan 2 ⁡ θ . sec ⁡ θ d θ

A primeira integral é uma integral tabelada no qual seu resultado é:

1 2 ∫ 0 1 sec ⁡ θ d θ = 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ 1 0

A segunda integral tem como resultado:

1 2 ∫ 0 1 tan 2 ⁡ θ . sec ⁡ θ d θ = 1 4 sec ⁡ θ . tan ⁡ θ - ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ 1 0

Juntando as duas integrais, teremos:

1 2 ∫ 0 1 sec ⁡ θ d θ + 1 2 ∫ 0 1 tan 2 ⁡ θ . sec ⁡ θ d θ = 1 4 sec ⁡ θ . tan ⁡ θ + 1 4 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ 1 0

Passo 4

Beleza, resolvemos nossa integral, galera! No entanto, chegamos em um resultado em termos de θ , mas queremos em termos de x ! Da substituição trigonométrica que fizemos no passo 1, conseguimos tirar o seguinte:

sec ⁡ θ = 1 + 2 x 2

tan ⁡ θ = 2 x

Substituindo, teremos:

1 4 1 + 2 x 2 . 2 x + 1 4 ln ⁡ 1 + 2 x 2 + 2 x 1 0

∴ L = ∫ 0 1 1 + 2 x 2 d x = 5 2 + 1 4 ln ⁡ 5 + 2   u . c

E esse é o nosso comprimento, pessoal!

Resposta

L = 5 2 + 1 4 ln ⁡ 5 + 2   u . c

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