Enunciado

A integral:

∫ x 2 x 2 + 4 d x

Pode ser calculada tanto por substituição trigonométrica quanto por manipulação algébrica, reescrevendo o numerador do integrando como x 2 + 4 - 4 . Calcule a integral de ambas as maneiras e mostre que os resultados obtidos são equivalentes.

Passo 1

Então galera, assim como o enunciado sugere, as duas formas de calcular o valor dessa integral são: utilizando substituição trigonométrica e utilizando substituição simples. Vamos primeiro resolver utilizando a substituição trigonométrica, ok? Let’s go então!

Como o nosso denominador está no formato a 2 + x 2 , a substituição mais interessante é:

x = a . tan ⁡ θ

Como nosso a = 2 , então:

x = 2 . tan ⁡ θ

Ademais:

x 2 = 4 . tan 2 ⁡ θ

E disso tiramos que:

d x = 2 . sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ x x 2 + 4 d x = ∫ 4 . tan 2 ⁡ θ 4 . tan 2 ⁡ θ + 4 2 . sec 2 ⁡ θ d θ

Simplificando, teremos:

∫ 4 . tan 2 ⁡ θ 4 tan 2 ⁡ θ + 1 2 . sec 2 ⁡ θ d θ = 2 ∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

2 ∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = 2 ∫ tan 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Ok, simplificamos bastante a nossa integral, pessoal! Para resolvermos essa integral vamos utilizar a relação trigonométrica:

tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1

Substituindo:

2 ∫ tan 2 ⁡ θ d θ = 2 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

Resolvendo, teremos:

2 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ = 2 tan ⁡ θ - 2 θ + C

Voltando à variável x :

2 tan ⁡ θ - 2 θ + C = x - 2 . a r c tan ⁡ x 2 + C

E esse é o nosso resultado utilizando o primeiro método!

Passo 3

Agora utilizando a substituição simples, temos que:

∫ x 2 x 2 + 4 d x = ∫ x 2 + 4 - 4 x 2 + 4 d x

Que é a manipulação sugerida pelo enunciado! Simplificando, teremos:

∫ x 2 + 4 - 4 x 2 + 4 d x = ∫ d x - 4 ∫ d x x 2 + 4

A primeira integral é de boas, né? Seu resultado é x . A segunda integral é uma integral tabelada e seu resultado é:

∫ d x x 2 + 4 = a r c tan ⁡ x 2

Sendo assim, temos que:

∫ x 2 x 2 + 4 d x = x + C 1 - 2 . a r c tan ⁡ x 2 + C 2 = x - 2 . a r c tan ⁡ x 2 + C

Que é exatamente o mesmo resultado que chegamos utilizando a substituição trigonométrica! Sendo assim, fica provado que, de fato, os dois métodos são equivalentes!

Resposta

∫ x 2 x 2 + 4 d x = x - 2 . a r c tan ⁡ x 2 + C

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