Encontre o comprimento da curva y = ln x de x = 1 a x = 2 .

Passo 1

Então galera, de acordo com a seção 6.4 do Anton, vimos que parar calcularmos o comprimento de uma curva plana, devemos encontrar:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

No qual a e b são os intervalos dados pelo enunciado e f ( x ) é a curva em questão! De início, temos que nossa função é:

f x = ln ⁡ x

Então nossa derivada, ou seja, f ' x será:

f ' x = 1 x

Então nossa integral será:

L = ∫ 1 2 1 + 1 x 2 d x

Simplificando:

L = ∫ 1 2 x 2 + 1 x 2 d x

Passo 2

Ok, agora que encontramos a integral que temos que resolver, mãos a obra! Como aparece uma raíz do tipo a 2 + x 2 no nosso numerador, então vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica, saca só:

x = a . tan ⁡ θ

Disso tiramos que:

x = 1 . tan ⁡ θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo os novos valores na nossa integral, teremos:

∫ 1 2 x 2 + 1 x 2 d x = ∫ 1 2 tan 2 ⁡ θ + 1 tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Como sec 2 ⁡ θ = tan 2 ⁡ θ + 1 , então podemos fazer:

∫ 1 2 tan 2 ⁡ θ + 1 tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Show, simplificamos bastante nossa integral, gente!

Passo 3

Utilizando a mesma substituição do passo anterior, teremos:

∫ 1 2 tan 2 ⁡ θ + 1 . sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 sec ⁡ θ . tan ⁡ θ + csc ⁡ θ d θ

Disso podemos separar duas integrais:

∫ 1 2 sec ⁡ θ . tan ⁡ θ + csc ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 sec ⁡ θ . tan ⁡ θ d θ + ∫ 1 2 csc ⁡ θ d θ

A segunda integral é uma integral tabelada, no qual seu resultado é:

∫ 1 2 csc ⁡ θ d θ = ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ 2 1

A primeira integral também é imediata, galera! Lá de derivadas, a função que quando derivada resulta naquele produto sec ⁡ θ . tan ⁡ θ é f x = sec ⁡ θ , então:

∫ 1 2 sec ⁡ θ . tan ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ 2 1

Juntando as duas integrais, teremos:

∫ 1 2 sec ⁡ θ . tan ⁡ θ d θ + ∫ 1 2 csc ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ 2 1 + ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ 2 1

Passo 4

Beleza, resolvemos nossa integral, galera! No entanto, chegamos em um resultado em termos de θ , mas queremos em termos de x ! Da substituição trigonométrica que fizemos no passo 1, conseguimos tirar o seguinte:

sec ⁡ θ = x 2 + 1

csc ⁡ θ = x 2 + 1 x

cot ⁡ θ = 1 x

Substituindo, teremos:

sec ⁡ θ 2 1 + ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ 2 1 = x 2 + 1 + ln ⁡ x 2 + 1 - 1 x 2 1

∴ L = ∫ 1 2 1 + 1 x 2 d x = 5 + ln ⁡ 5 - 1 2 - 2 - ln ⁡ 2 - 1   u . c

E esse é o nosso comprimento, pessoal!

Resposta

L = 5 + ln ⁡ 5 - 1 2 - 2 - ln ⁡ 2 - 1   u . c

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