b) ∫ s e n 3 x sen ⁡ 5 x d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem clássico e temos que saber resolver! A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

s e n a ⋅ s e n b = 1 2 ⋅ c o s a - b - c o s a + b

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

c o s a - b = c o s a ⋅ cos ⁡ b + s e n a ⋅ sen ⁡ b

c o s a + b = c o s a ⋅ cos ⁡ b - s e n a ⋅ sen ⁡ b

Subtraindo as duas:

c o s a - b - c o s a + b = 2 ⋅ s e n a ⋅ sen ⁡ b

Logo,

s e n a ⋅ s e n b = 1 2 ⋅ c o s a - b - c o s a + b

Passo 2

Agora vamos usar aquela relação do ali de cima para transformar de produto em soma!

s e n 3 x ⋅ sen ⁡ 5 x = 1 2 ⋅ c o s 3 x - 5 x - c o s 3 x + 5 x

Isto é,

s e n 7 x ⋅ c o s 2 x = 1 2 ⋅ c o s - 2 x - c o s 8 x

Não esquece: ∫ c o s x   d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = ∫ s e n 7 x ⋅ c o s 2 x d x = ∫ 1 2 ⋅ c o s - 2 x - c o s 8 x d x

Logo,

I = 1 2 ⋅ ∫ c o s - 2 x d x - 1 2 ⋅ ∫ c o s 8 x d x = 1 2 ⋅ sen ⁡ - 2 x - 2 - 1 2 ⋅ sen ⁡ 8 x 8 + c

Por fim, temos:

I = - sen ⁡ - 2 x 4 - sen ⁡ 8 x 16 + c = sen ⁡ 2 x 4 - sen ⁡ 8 x 16 + c

Lembrete: s e n - x =   - s e n ( x )

Resposta

sen ⁡ 2 x 4 - sen ⁡ 8 x 16 + c

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