c) ∫ c o s 2 x cos ⁡ x d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem clássico e temos que saber resolver! A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

c o s a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ c o s a + b + c o s a - b

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

c o s a - b = c o s a ⋅ cos ⁡ b + s e n a ⋅ sen ⁡ b

c o s a + b = c o s a ⋅ cos ⁡ b - s e n a ⋅ sen ⁡ b

Somando as duas:

c o s a - b + c o s a + b = 2 ⋅ c o s a ⋅ cos ⁡ b

Logo,

c o s a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ c o s a - b + c o s a + b

Passo 2

Agora vamos usar aquela relação do ali de cima para transformar de produto em soma!

c o s 2 x cos ⁡ x = 1 2 ⋅ c o s 2 x + x + c o s 2 x - x

Isto é,

c o s 2 x cos ⁡ x = 1 2 ⋅ c o s 3 x + c o s x

Não esquece: ∫ c o s x   d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = ∫ c o s 2 x cos ⁡ x d x = ∫ 1 2 ⋅ c o s 3 x + c o s x d x

Logo,

I = 1 2 ⋅ ∫ c o s 3 x d x + 1 2 ⋅ ∫ c o s x d x = 1 2 ⋅ sen ⁡ 3 x 3 + 1 2 ⋅ sen ⁡ ( x ) 1 + c

Por fim, temos:

I = sen ⁡ 3 x 6 + sen ⁡ x 2 + c

Resposta

sen ⁡ 3 x 6 + sen ⁡ x 2 + c

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