Encontre o comprimento exato da curva.

y = 1 / 4 \* x^2 - 1 / 2 \* ln(x), 1 <= x <= 2

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema?! O enunciado pede pra a gente calcular o comprimento exato da seguinte curva:

y = 1 4 x 2 - 1 2 ln ⁡ x ,     1 ≤ x ≤ 2

O comprimento da curva é dado por:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Vamos derivar a função então:

f x = 1 4 x 2 - 1 2 ln ⁡ x

f ' x = 1 2 x - 1 2 x

Aplicamos na fórmula agora:

L =   ∫ 1 2 1 + 1 2 x - 1 2 x 2 d x

Passo 2

Vamos desenvolver a integral:

L = ∫ 1 2 1 + 1 2 x - 1 2 x 2 d x = ∫ 1 2 1 + 1 4 x 2 - 1 2 + 1 4 x 2 d x

L =   ∫ 1 2 2 x 2 + x 4 + 1 4 x 2   d x

L = ∫ 1 2 x 2 + 1 2 4 x 2

Agora podemos tirar essa gelara da raiz:

= ∫ 1 2 x 2 + 1 2 x   d x

Temos que:

x 2 + 1 2 x = x 2 2 x + 1 2 x

Então:

L = 1 2 ∫ 1 2 x + 1 x   d x = 1 2 x 2 2 + ln ⁡ x 1 2

Passo 3

Agora a gente aplica os limites de integração:

= 1 2 x 2 2 + ln ⁡ x 1 2 = 1 2 2 2 2 + ln ⁡ 2 - 1 2 2 - ln ⁡ 1

= 1 2 3 2 + ln ⁡ 2

L = 3 4   ln ⁡ 2

Resposta

L = 3 4   ln ⁡ 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados