Enunciado

Encontre o comprimento exato da curva.

y = ln ( 1 - x^2 ) , 0 ��� x ��� (1)/(2)

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema?! O enunciado pede pra a gente calcular o comprimento exato da seguinte curva:

y = ln ( 1 - x^2 ) , 0 <= x <= (1)/(2)

O comprimento da curva é dado por:

L = int_a^b sqrt(1 + f^' (x)^2) d x

Vamos derivar a função então:

y = ln (1 - x^2)

Para isso usamos a regra da cadeia:

y^' = (1)/(1 - x^2) (- 2 x)

y^' = - (2 x)/(1 - x^2)

Aplicamos na fórmula agora:

L = int_0^((1)/(2)) sqrt(1 + (- (2 x)/(1 - x^2))^2) d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

L = int_0^((1)/(2)) sqrt(1 + (4 x^2)/((1 - x^2)^2)) d x

L = int_0^((1)/(2)) sqrt(((1 - x^2)^2 + 4 x^2)/((1 - x^2)^2)) d x

= int_0^((1)/(2)) sqrt((1 + 2 x^2 + x^4)/((1 - x^2)^2)) d x

Mas:

1 + 2 x^2 + x^4 = (1 + x^2)^2

Então:

int_0^((1)/(2)) sqrt(((1 + x^2)^2)/((1 - x^2)^2)) d x = int_0^((1)/(2)) (1 + x^2)/(1 - x^2) d x

Podemos usar frações parciais pra reescrever:

(1 + x^2)/(1 - x^2)

Fazendo a divisão de polinômio:

Então:

(1 + x^2)/(1 - x^2) = - 1 + (2)/(1 - x^2)

No denominador temos uma diferença de quadrados, então:

1 + (2)/(1 - x^2) = - 1 + (2)/((1 - x) (1 + x))

Podemos usar frações parciais pra fazer:

(2)/((1 - x) (1 + x)) = (A)/(1 - x) + (B)/(1 + x)

(A)/(1 - x) + (B)/(1 + x) = (A (x + 1) + B ( x - 1 ))/(1 - x^2) = (2)/(1 - x^2)

A (x + 1) + B (x - 1) = 2

x (A + B) + A - B = 2

A + B = 0 -> A = - B

A - B = 2 -> A = 1

Então:

(1)/(1 - x) - (1)/(1 + x)

Passo 3

Chegamos em:

L = int_0^((1)/(2)) - 1 + (1)/(1 - x) - (1)/(1 + x) d x

Vamos resolver cada integral separadamente:

int (1)/(1 - x) d x

Usando integral por substituição:

u = x - 1

(d u)/(d x) = - 1 -> d x = - d u

int - (1)/(u) = - ln |u| + C = - ln | 1 - x | + C

De modo similar temos:

int (1)/(1 + x) d x = ln | 1 + x | + C

Voltando pra integral original com os limites de integração:

L = int_0^((1)/(2)) - 1 + (1)/(1 - x) + (1)/(1 + x) d x = - (x - ln |1 - x| + ln |1 + x||_0^(1 // 2)

Vamos aplicar os limites de interação agora:

- (x + ln |1 - x| + ln |1 + x||_0^(1 // 2) = - ((1)/(2) + ln �� |(1)/(2)| + ln |(3)/(2)|| - (ln 1)

L = - (1)/(2) - ln ((1)/(2)) + ln ((3)/(2)) - ( 0 + ln 1 - ln 1 )

Lembrando que:

ln 1 = 0

ln (1)/(2) = ln 1 - ln 2 = - ln 2

ln ((3)/(2)) = ln 3 - ln 2

Então temos:

L = - (1)/(2) + ln 2 + ln 3 - ln 2

L = - (1)/(2) + ln 3

Resposta

L = - (1)/(2) + ln 3

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