Enunciado

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19.

y = 5 12 x 6 / 5 - 5 8 x 4 / 5 ; 1 ≤ x ≤ 32

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos de curvas.

Podemos determinar o comprimento da curva pedida utilizando:

L = ∫ x 1 x 2 1 + d y d x 2 d x

Para isso, vamos derivar y em relação a x:

d y d x = 5 12 ∙ 6 5 x 1 / 5 - 5 8 ∙ 4 5 x - 1 / 5 = 1 2 x 1 / 5 - 1 2 x - 1 / 5

De modo que:

d y d x 2 = 1 2 x 1 / 5 - 1 2 x - 1 / 5 2 = 1 4 x 2 / 5 - 2 + x - 2 / 5

Passo 2

Aplicando na equação do comprimento da curva, teremos que:

L = ∫ 1 32 1 + 1 4 x 2 / 5 - 2 + x - 2 / 5 d x = ∫ 1 32 1 4 x 2 / 5 + 2 + x - 2 / 5 d x =

= ∫ 1 32 1 4 x 1 / 5 + x - 1 / 5 2 d x

Logo:

L = ∫ 1 32 1 2 x 1 / 5 + x - 1 / 5 d x = ∫ 1 32 1 2 x 1 / 5 d x + ∫ 1 32 1 2 x - 1 / 5 d x = 5 x 6 / 5 12 + 5 x 4 / 5 8 | 1 32

Que nos dá:

L = 5 ∙ 32 6 / 5 12 + 5 ∙ 32 4 / 5 8 - 5 ∙ 1 6 / 5 12 + 5 ∙ 1 4 / 5 8 = 35,625   o u 285 8

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

35,625 ou 285/8

Exercícios de Livros Relacionados

Seja F → t uma força, dependendo do tempo t , que atua sobre uma partícula entre os instantes t 1 e t 2 . Supondo F → integrável em t 1 , t 2 , o vetor I → = ∫ t 1 t 2 F → td t denomina-se impulso de
Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19. x = t 3 - 6 t 2ey = t 3 + 6 t 2 ; 0 ≤ t ≤ 1
Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19. x = 3 cos ⁡ θey = 3 s e nθ ; 0 ≤ θ ≤ 3 π 2
Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19. x = y 3 12 + 1 y ; 1 ≤ y ≤ 2
Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19. x = y 2 / 3 ; 1 ≤ y ≤ 8