Enunciado

Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18

Dentro da lemniscata r 2 = 6 cos ⁡ 2 θ e fora do círculo r = 3 .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto de aplicação, primeiro vamos encontrar a figura a partir do geogebra para entender do que se trata e delimitar os limites e depois, só precisamos botar na fórmula do calculo da área a partir da integral.

A = ∫ β α 1 2 ( r a 2 - r b 2 ) d θ

Essa é a nossa figura:

Temos 2 regiões distintas com limites diferentes, vamos calcula-los então:

r = r

6 cos ⁡ 2 θ = 3

cos ⁡ 2 θ = 1 / 2

θ = π 6

Portanto, π / 6 é o nosso ponto de intersecção. Assim, os limites vão de 0 a π 6 , ainda pela questão da simetria no eixo y duas vezes temos que multiplicar a área por 4.

Passo 2

A = 4 ∫ 0 π / 6 1 2 6 cos ⁡ 2 θ - 3 2 d θ

A = 2 6 2 sen ⁡ 2 θ - 3 θ 0 π 6 = 2 3 3 2 - π 2 - 0 + 0

A = 3 3 - π

Bora para a próxima!

Resposta

A = 3 3 - π

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