Enunciado

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 2 em torno de AB .

Passo 1

Opa, bora lá! O enunciado nos dá a seguinte figura:

E pede pra a gente encontrar o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta R 2 em torno de AB. Pra isso vamos usar a seguinte expressão:

V = ∫ a b A ( y ) d y

Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região R 2 , que é delimitada pela função

y = x 4   → y 4 = x

Esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação. No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno da reta x = 1 . Assim, a área do disco é igual a:

A y = π R 2 - π r 2 = π 1 2 - 1 - y 4 2 = π 1 - 1 - y 8 + 2 y 4 = π ( - y 8 + 2 y 4 )

Passo 2

Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração. Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f ( x ) d x = c ∫ f ( x ) d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1   + C

Logo,

∫ π ( - y 8 + 2 y 4 ) d y = π ∫ ( - y 8 + 2 y 4 )   d y = π - y 9 9 + 2 y 5 5 + C

Passo 3

Agora é tranquilo, pessoal! Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1. Nossos limites de integração aqui serão a = 0 e b = 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho. Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo:

V = ∫ 0 1 ( - y 8 + 2 y 4 ) d y = π - y 9 9 + 2 y 5 5 0 1

V = π - 1 9 + 2 5 = 13 π 45

O resultado final é:

V = 13 π 45

Resposta

V = 13 π 45

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A região limitada pelo eixo y e pelas curvas y = sen ⁡ x e y = cos ⁡ x para 0 ≤ x ≤ π 4 é girada em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação de um arco da senóide em torno do eixo x .
Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = s e n x , a reta x= 1 2 π e eixo x.
Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva x = y ² ² e x = y 4 , no primeiro quadrante
Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = x c o s e c x , a reta x= 1 2 π , x= 1 4 π e eixo x.