Enunciado

Encontre f ' ( x )

f (x) = 4 cos^5 (x)

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f (x) = x^5

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g (x) = cos (x)

Por enquanto não vamos nos preocupar com esse 4 que está multiplicando, no final vamos lidar com ele para facilitar nossas continhas 😊

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f (x) = x^5

f^' (x) = 5 x^4

f^' (g (x)) = 5 cos^4 ( x )

Agora para g ( x )

g (x) = c o s ( x )

g^' (x) = - s e n ( x )

Passo 3

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

(f (g (x)))^' = 5 cos^4 ( x ) * (- s e n (x))

(f (g (x)))^' = - 5 cos^4 ( x ) s e n ( x )

Maaaas ainda não acabou, vamos resgatar aquele 4 que deixamos de lado e multiplicar a nossa derivada por ele!

(f (g (x)))^' = - 20 cos^4 ( x ) s e n ( x )

Resposta

(f (g (x)))^' = - 20 cos^4 ( x ) s e n ( x )

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