Enunciado

Se escrevermos g ( x ) para f - 1 ( x ) , a Equação 1 pode ser escrita como:

g ' f a =   1 f ' ( a ) ou g ' f a . f ' a = 1

A última equação pode fazer com que você se lembre da regra da cadeia; de fato existe uma correção entre elas.

Suponha que f e g sejam funções deriváveis e uma seja a inversa da outra de modo que g ° f x = x . Derive os dois lados da equação em relação a x, usando a regra da cadeia para expressar g ° f ' x como um produto das derivas de g e f . O que você descobriu?

Passo 1

Suponha que f e g sejam funções deriváveis e uma seja a inversa da outra de modo que g ° f x = x .

Derivamos em ambos os lados em relação a x, temos:

f g x = x

d d x   f g x = d d x x  

Usando a regra da cadeia:

f ' g x .   g ' x = 1

Dividindo tudo por f ' ( g x ) . Segue:

g ' x =   1 f ' ( g x )

Em concluímos que se f é derivável em um dado intervalo e f ' ( x ) ≠ 0 para todo x contido nesse intervalo, em g =   f - 1 ( x ) é derivável e g ' x =   1 f ' ( g x )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Escreva a função composta na forma f g x . [Identifique a função de dentro u = g ( x ) e a de fora y = f ( u ) .] Então encontre a derivada d y d x . y = t g( s e nx)
7 – 46 Encontre a derivada da função.9. f x = 5 x + 1
47 – 50 Encontre y ' e y ' ' .48. y = 1 1 + tg ⁡ x 2