Enunciado

7 – 46 Encontre a derivada da função.

10. f x = 1 x 2 - 1 3

Passo 1

Olá, meu amado estudante. Vamos resolver essa atividade juntos, eu e você aqui hoje.

A gente tem que derivar a função:

f x = 1 x 2 - 1 3

Que é um quociente, e também é uma função composta. Por conta disso, deveremos utilizar da regra da cadeia, utilizada em funções compostas.

Não precisamos utilizar a regra do quociente aqui, pois como podemos reescrever o a raiz:

x = x 1 2

Podemos utilizar a regra para polinômios para a derivação.

A derivada de uma função composta, f g x ,   onde, g x = u , vai ser igual a

f ' x = d d u f u ⋅ d d x g x

Passo 2

A função interna é a seguinte:

u = g x

u = x 2 - 1

E a externa é a raiz:

f u = 1 u 3

A derivada de uma função composta, f g x ,   onde, g x = u , vai ser igual a

f ' x = d d u f u ⋅ d d x g x

Então a derivada da nossa função fica

f ' x = d d u 1 u 3 ⋅ d d x x 2 - 1

f ' x = d d u u - 1 3 ⋅ d d x x 2 - 1

As duas derivadas são de polinômios:

f ' x = - 1 3 u - 4 / 3 ⋅ 2 x - 0

Como

u = g x = x 2 - 1

então a derivada é igual a

f ' x = - 1 3 ( x 2 - 1 ) - 4 / 3 ⋅ 2 x

f ' x = - 2 x 3 ( x 2 - 1 ) - 4 / 3

Resposta

f ' x = - 2 x 3 ( x 2 - 1 ) - 4 / 3

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