Encontre y'' por derivação implícita.

9x^2 + y^2 = 9

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte expressão:

9 x 2 + y 2 = 9

Nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de segunda ordem de y utilizando derivação implícita.

Tá... já sabemos que precisaremos derivar duas vezes... mas o que é essa derivação implícita??

Bom... seja uma equação implícita geral de duas variáveis, F ( x , y ) = 0 , onde y é uma função de x .

Para encontrarmos a derivada dessa expressão, precisamos derivar os dois lados da equação e, em seguida, devemos aplicar a regra da cadeia:

d d x F x , y = d d x 0 ∴

d F d x + d F d y d y d x = 0

Com isso é só a gente isolar o d y d x que descobriremos a derivada da nossa função!! Entendeu?

Agora bora lá aplicar!! 😉

Mas antes, vamos precisar da regra da potência para derivar a nossa função.

A regra da potência diz que se uma função é da forma f x = x n , então, sua derivada é f ' x = n x n - 1 .

Passo 2

Primeiramente, iremos derivar os dois lados da equação em relação a x :

9 x 2 + y 2 = 9 ∴

18 x + 2 y y ' = 0

Veja que ao diferenciar y , multiplicamos pela sua derivada y ' . Isso ocorre devido a regra da cadeia.

Vamos agora isolar y '

18 x + 2 y y ' = 0 ∴

y ' = - 18 x 2 y = - 9 x y

Passo 3

Agora, iremos derivar novamente os dois lados da equação em relação a x , utilizando a regra do quociente:

y ' ' = - 9 y + 9 x y ' y 2

Como y ' = - 9 x y , iremos substituir na equação e colocar - 9 em evidência:

y ' ' = - 9 y + x 9 x y y 2 ∴

y ' ' = - 9 y 2 + 9 x 2 y 3

Nosso enunciado nos diz que:

9 x 2 + y 2 = 9

Então, substituindo em y ' '

y ' ' = - 9 9 y 3 ∴

y ' ' = - 81 y 3

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' ' = - 81 y 3

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