Encontre dy/dx por derivação implícita.

tg^(-1)(x^2y) = x + xy^2

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão qure que calculemos a derivada d y d x da seguinte equação utilizando derivação implícita:

tg - 1 ⁡ x 2 y = x + x y 2

Para isso, devemos derivar ambos os lados da equação e fazer algumas manipulações de forma que isolemos a derivada d y d x (ou y ' ).

Se ainda não entendeu, vamos juntos que vai ficar melhor!! 😉

Ah, antes é importante lembrarmos de uma regrinha de derivação que pode nos ajudar aqui.

A regra da cadeia, onde:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Agora bora lá!!

Passo 2

Primeiro passo é derivar ambos os lados da função em relação a x , assim:

d dx ( tg - 1 x 2 y ) ⁡ = d d x x + x y 2

Fazendo a derivada da direita pela regra da cadeia:

d d x ( t g - 1 x 2 y ) = d d u t g - 1 u ∙ d d x x 2 y ∴

d d x ( t g - 1 x 2 y ) = 1 1 + x 2 y 2 x 2 y ' + y ⋅ 2 x

Fazendo a derivada da esquerda:

d d x x + x y 2 = 1 + x ⋅ 2 y y ' + y 2 ⋅ 1

Igualando o resultado que descobrimos das duas derivadas, temos:

1 1 + x 2 y 2 x 2 y ' + y ⋅ 2 x = 1 + x ⋅ 2 y y ' + y 2 ⋅ 1

Passo 3

Agora, vamos arrumar a equação, e isolarmos y ' , então, ficamos com:

x 2 1 + x 4 y 2 y ' - 2 x y y ' = 1 + y 2 - 2 x y 1 + x 4 y 2 ∴

y ' x 2 1 + x 4 y 2 - 2 x y = 1 + y 2 - 2 x y 1 + x 4 y 2

E então,

y ' = 1 + y 2 - 2 x y 1 + x 4 y 2 x 2 1 + x 4 y 2 - 2 x y

E ajeitando mais um pouquinho:

y ' = 1 + x 4 y 2 + y 2 + x 4 y 4 - 2 x y x 2 - 2 x y - 2 x 5 y 3

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = 1 + x 4 y 2 + y 2 + x 4 y 4 - 2 x y x 2 - 2 x y - 2 x 5 y 3

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