Enunciado

Encontre d y // d x por derivação implícita.

tg ( x - y ) = (y)/(1 + x^2)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente derivar a equação implicitamente. Repare que o x e o y ficam misturados ali na equação, por isso dizemos que isso é uma expressão implícita e, também, por isso o nome da derivação.

Tá, mas será que tem como derivar uma expressão dessas em relação a x sem isolar o y ? Tem sim. Basta a gente tomar a derivada em ambos os lados da equação. E nos termos que só tem y ? Aí, a gente considera que ele é uma função de x , no caso y ( x ) , e derivamos usando a regra da cadeia.

Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da função em relação a x , assim:

(d)/(d x) ( tg (x - y) ) = (d)/(d x) ((y)/(1 + x^2))

Usando a regra da cadeia no termo da esquerda e a regra do quociente no termo da direita, vamos obter:

sec^2 (x - y) (1 - (d y)/(d x)) = ((d y)/(d x) (1 + x^2) - 2 x y)/((1 + x^2)^2)

Agora vamos multiplicar ambos os lados da equação por (1 + x^2)^2 , para eliminar o denominador:

(1 + x^2)^2 * sec^2 (x - y) (1 - (d y)/(d x)) = (d y)/(d x) (1 + x^2) - 2 x y

Distribuindo (d y)/(d x) em ( 1 + x^2 ) no lado direito da equação, temos:

(1 + x^2)^2 [sec^2 (x - y) - sec^2 (x - y) (d y)/(d x)] = (d y)/(d x) + x^2 (d y)/(d x) - 2 x y

Agora distribuindo (1 + x^2)^2 dentro do colchete do lado esquerdo, vamos ter:

(1 + x^2)^2 sec^2 (x - y) - (1 + x^2)^2 sec^2 (x - y) (d y)/(d x) = (d y)/(d x) + x^2 (d y)/(d x) - 2 x y

Como a gente quer saber o valor da derivada, vamos colocar (d y)/(d x) em evidência:

(d y)/(d x) [- (1 + x^2)^2 sec^2 (x - y) - 1 - x^2] = - (1 + x^2)^2 sec^2 (x - y) - 2 x y

E aí basta isolar (d y)/(d x) , dividindo todo mundo pelo termo do colchete:

(d y)/(d x) = (- (1 + x^2)^2 sec^2 (x - y) - 2 x y)/(- (1 + x^2)^2 sec^2 (x - y) - 1 - x^2)

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(d y)/(d x) = (- (1 + x^2)^2 sec^2 (x - y) - 2 x y)/(- (1 + x^2)^2 sec^2 (x - y) - 1 - x^2)

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