Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = (x - 1)/(x^2)

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Passo 2

Como o denominador não pode se anular, devemos ter x^2 != 0 . Assim, devemos ter x != 0 .

D_f = R - { 0 }

Passo 3

A única interseção com os eixos ocorre em x = 1 no ponto ( 1,0 ) . Essa é a única raiz da função, que não intersecta o eixo y .

Passo 4

A função não é nem par nem ímpar, de modo que não tem nenhum tipo de simetria.

Passo 5

Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito:

underset(x -> - oo)(lim) (x - 1)/(x^2) = underset(x -> + oo)(lim) (x - 1)/(x^2) = 0

Assim, tanto para - oo como para + oo , o eixo x é assíntota horizontal para a função.

Como x = 0 não está no domínio da função, temos que verificar se essa reta é assíntota vertical. De fato,

underset(x -> 0^-)(lim) (x - 1)/(x^2) = underset(x -> 0^+)(lim) (x - 1)/(x^2) = - (1)/(0^+) = - oo

Assim, a reta x = 0 é assíntota vertical da função.

Passo 6

Para os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos derivar a função:

y^' = (1 * x^2 - (x - 1) * 2 x)/(x^4) = (x - 2 ( x - 1 ))/(x^3) = - (x - 2)/(x^3)

O sinal de y ' será:

Assim, o ponto ( 0,0 ) é ponto de mínimo local e o ponto (2 , (1)/(4)) é máximo local.

Passo 7

No estudo da concavidade, precisamos de y ' ' :

y^(' ') = - (1 * x^3 - (x - 2) * 3 x^2)/(x^6) = - (x - 3 (x - 2))/(x^4) = (2 ( x - 3 ))/(x^4)

Como x^4 > 0 , segue que o sinal de y ' ' vai depender apenas de x - 3 :

O ponto (3 , (2)/(9)) será ponto de inflexão.

Resposta

O esboço da curva:

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