Encontre d^2y / dx^2 por derivação implícita.

x^3 + y^3 = 1

Passo 1

Primeiro vamos usar derivação implícita, nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:

d d x x 3 + y 3 = d d x 1

3 x 3 - 1 + 3 y 3 - 1 d y d x = 0

3 x 2 + 3 y 2 d y d x = 0

Passo 2

Agora vamos reorganizar, vamos deixar o d y d x no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

3 x 2 + 3 y 2 d y d x = 0

3 y 2 d y d x = - 3 x 2

d y d x = - 3 x 2 3 y 2

d y d x = - x 2 y 2

Passo 3

Agora vamos derivar novamente para termos d 2 y d x 2 , da mesma forma que no passo 1 :

d d x d y d x = d d x - x 2 y 2

d 2 y d x 2 = - 2 ⋅ x 2 - 1 ⋅ y 2 - - x 2 ⋅ 2 ⋅ y 2 - 1 d y d x y 2 2

d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 + 2 x 2 y d y d x y 4

Acabamos ficando com d y d x na resolução, vamos então substituir d y d x = - x 2 y 2 :

d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 + 2 x 2 y d y d x y 4

d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 + 2 x 2 y - x 2 y 2 y 4

d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 - 2 x 4 y y 4

d 2 y d x 2 = - 2 x y 3 - 2 x 4 y y 4

d 2 y d x 2 = - 2 x y 3 - 2 x 4 y ⋅ 1 y 4

d 2 y d x 2 = - 2 x y 3 - 2 x 4 y 5

d 2 y d x 2 = - 2 x y 3 + x 3 y 5

Passo 4

E agora vamos lembrar a expressão inicial x 3 + y 3 = 1 , ela aparece no nosso resultado, vamos substituir o seu valor nele:

d 2 y d x 2 = - 2 x y 3 + x 3 y 5

d 2 y d x 2 = - 2 x ⋅ 1 y 5

d 2 y d x 2 = - 2 x y 5

Pronto, encontramos d 2 y d x 2 por derivação implícita!!

Resposta

d 2 y d x 2 = - 2 x y 5

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