Enunciado

Nos Exercícios 31-40, verifique se o ponto dado faz parte da curva e determine as retas que são (a) tangentes e (b) normais à curva no ponto dado.

39. y = 2 s en ⁡ ( π x - y ) ,       ( 1 , 0 )

Passo 1

Para verificar se o ponto faz parte da curva só precisamos substituir as coordenadas na função:

y = 2 sen ⁡ ( π x - y ) ,       ( 1,0 )

0 = 2 sen ⁡ ( π ( 1 ) - 0 ) ,       ( 1,0 )

0 = 0

Portanto o ponto faz parte da curva.

Passo 2

a.

A reta tangente tem como inclinação o valor da derivada naquele ponto.

Derivando implicitamente a função:

y ' = 2 cos ⁡ π x - y ( π - y ' )

y ' + 2 cos ⁡ π x - y y ' = 2 π cos ⁡ π x - y

( 2 cos ⁡ π x - y + 1 ) y ' = 2 π cos ⁡ π x - y

y ' = 2 π cos ⁡ π x - y 2 cos ⁡ π x - y + 1

O coeficiente angular da reta, tangente à função, no ponto ( 1 , 0 ) , vale:

y ' = 2 π cos ⁡ π ( 1 ) - 0 2 cos ⁡ π ( 1 ) - 0 + 1

y ' = 2 π ( - 1 ) 2 ( - 1 ) + 1

y ' = - 2 π - 1

y ' = 2 π

A reta tem sua equação da forma:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 0 = 2 π x - 1

y = 2 π x - 2 π

Passo 3

b.

A linha normal vai ter o mesmo ponto em comum.

Entretanto seu coeficiente angular irá ser oposto e inverso ao coeficiente angular da reta tangente, pois as retas são perpendiculares. Vamos mostrar o porquê disso.

Imagine duas retas r e s perpendiculares:

A tg ⁡ β e a tg ⁡ ( β + 90 ° ) são os coeficientes agulares das retas s e r , respectivamente.

Vamos calcular o valor de tg ⁡ ( β + 90 ° ) usando as fórmulas de adição estudada no Capitulo 1:

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ ( β + 90 º ) cos ⁡ ( β + 90 º )

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ β cos ⁡ 90 ° + sen ⁡ 90 ° cos ⁡ β cos ⁡ β cos ⁡ 90 ° - sen ⁡ β sen ⁡ 90 °

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ β 0 + 1 cos ⁡ β cos ⁡ β 0 - sen ⁡ β 1

tg ⁡ β + 90 ° = cos ⁡ β - sen ⁡ β

tg ⁡ β + 90 ° = - 1 tg ⁡ β

Ou seja:

m r = - 1 m s

Pronto, agora que a gente tem certeza que os coeficientes angulares das retas perpendiculares são opostos e inversos, vamos continuar calculando a equação da reta normal:

y - 0 = - 1 2 π x - 1

y = - 1 2 π x + 1 2 π

Resposta

O ponto faz parte da curva.

a. y = 2 π x - 2 π

b. y = - 1 2 π x + 1 2 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1 -4 Encontre y ' diferenciando implicitamente.Resolva a equação explicitamente para y e diferencie para obter y’ em termos de x.Verifique se suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes su
22. Se g x + x s e n ⁡ g x =x 2 e g 1 = 0 , ache g ' 1 .
21. Se 1 + f x + x 2 f x 3 = 0 e f 1 = 2 , ache f ' 1 .
55 – 56 Mostre que as curvas dadas são ortogonais.56. x 2 - y 2 = 5 , 4 x 2 + 9 y 2 = 72
5 – 20 Encontre dy/dx diferenciando implicitamente15. e x 2 y = x + y