Enunciado

Encontre (d y)/(d x) por derivação implícita.

cos (x y^2) = y

Passo 1

Primeiro vamos usar derivação implícita, nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:

(d)/(d x) (cos (x y^2)) = (d)/(d x) (y)

- sen (x y^2) (d)/(d y) (x y^2) = (d y)/(d x)

- sen (x y^2) (1 * y^2 + x * 2 y^(2 - 1) (d y)/(d x)) = (d y)/(d x)

- sen (x y^2) (y^2 + 2 x y (d y)/(d x)) = (d y)/(d x)

Passo 2

Agora vamos reorganizar, vamos deixar o (d y)/(d x) no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

- sen (x y^2) (y^2 + 2 x y (d y)/(d x)) = (d y)/(d x)

- sen (x y^2) y^2 - 2 x y sen (x y^2) (d y)/(d x) = (d y)/(d x)

(d y)/(d x) + 2 x y sen (x y^2) (d y)/(d x) = - sen (x y^2) y^2

(d y)/(d x) (1 + 2 x y sen (x y^2)) = - sen (x y^2) y^2

(d y)/(d x) = - (sen (x y^2) y^2)/(1 + 2 x y sen (x y^2))

Pronto, encontramos (d y)/(d x) por derivação implícita!!

Resposta

(d y)/(d x) = - (sen (x y^2) y^2)/(1 + 2 x y sen (x y^2))

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