Enunciado

Encontre a derivada de f x = ( 1 + 2 x 2 ) ( x - x 2 ) de duas maneiras: usando a Regra do Produto e efetuando primeiro a multiplicação.

As respostas são iguais?

Passo 1

Fala ai, tudo certinho com você?

Bom, essa questão dá pra gente a função:

f x = 1 + 2 x 2 x - x 2

E pede pra gente encontrar sua derivada de dois modos diferentes.

O primeiro é usando a regra do produto e o segundo é efetuando primeiro a multiplicação dos termos.

Bom, vamos fazer exatamente o que ele pediu. Vem que te mostro como no passo a passo.

Passo 2

M o d o   I

A primeira forma de fazer é usando a regra do produto. O que faz muito sentido, pois podemos entender essa função como uma muitiplicação de outras duas funções. Sendo

g x = 1 + 2 x 2

E

h x = x - x 2

assim, nossa função pode ser vista como:

f x = 1 + 2 x 2 x - x 2

f x = g x ⋅ h x

E sua derivada será dada pela regra do produto que diz que

f ' x = g ' x ⋅ h x + g x ⋅ h ' x

Repare que para fazer a derivação precisamos das funções g x , h ( x ) e de suas derivadas g ' ( x ) e h ' ( x ) . Veja:

g x = 1 + 2 x 2

E sua derivada será dada por:

g ' x = 4 x

E

h x = x - x 2

tem derivada igual a:

h ' x = 1 - 2 x

Agora que já temos tudo que precisamos, basta substituir na fórmula da regra do produto.

Sendo

f ' x = 4 x x - x 2 + 1 + 2 x 2 1 - 2 x

Fazendo a multiplicação distributiva teremos:

f ' ( x ) = - 4 x 3 + 4 x 2 + 1 - 2 x + 2 x 2 - 4 x 3

E reduzindo os termos semelhantes, ficamos com:

f ' x =   - 8 x 3 + 6 x 2 -   2 x + 1  

Prontinho. Primeiro modo, feito!

Passo 3

M o d o   I I :

A outra forma de fazer isso é muitiplicar as expressões que estão entre parênses reescrevendo a função dessa forma aqui:

  f ( x ) = 1 + 2 x 2 x - x 2

E fazendo a distributiva teremos:

y = x - x 2 + 2 x 3 - 2 x 4

Agora aplicando a regra de derivação para cada termo, ficamos com:

f ' x =   - 8 x 3 + 6 x 2 -   2 x + 1  

Perceba que o resultado da derivada é o mesmo para os dois modos, porém o M o d o   ( I I ) é mais direto.

Resposta

y ' =   - 8 x 3 + 6 x 2 -   2 x + 1  

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