Encontre a derivada de f(x) = (x^2 + 1)(x^3 + 1) de duas maneiras: usando a Regra do Produto e efetuando primeiro a multiplicação.

As respostas são iguais?

Passo 1

Fala ai, tudo certinho com você?

Bom, essa questão dá pra gente a função:

f x = ( x 2 + 1 ) ( x 3 + 1 )

E pede pra gente encontrar sua derivada de dois modos diferentes.

O primeiro é usando a regra do produto e o segundo é efetuando primeiro a multiplicação dos termos.

Bom, vamos fazer exatamente o que ele pediu. Vem que te mostro como no passo a passo.

Passo 2

M o d o   I

A primeira forma de fazer é usando a regra do produto. O que faz muito sentido, pois podemos entender essa função como uma muitiplicação de outras duas funções. Sendo

g x = x 2 + 1

E

h x = x 3 + 1

assim, nossa função pode ser vista como:

f x = x 2 + 1 x 3 + 1

f x = g x ⋅ h x

E sua derivada será dada pela regra do produto que diz que

f ' x = g ' x ⋅ h x + g x ⋅ h ' x

Repare que para fazer a derivação precisamos das funções g x , h ( x ) e de suas derivadas g ' ( x ) e h ' ( x ) . Veja:

g x = x 2 + 1

E sua derivada será dada por:

g ' x = 2 x

E

h x = x 3 + 1

tem derivada igual a:

h ' x = 3 x 2

Agora que já temos tudo que precisamos, basta substituir na fórmula da regra do produto.

Sendo:

f ' x = g ' x ⋅ h x + g x ⋅ h ' x

f ' x = 2 x x 3 + 1 + x 2 + 1 3 x 2

Fazendo a multiplicação distributiva teremos:

f ' x = 2 x 4 + 2 x + 3 x 4 + 3 x 2

E reduzindo os termos semelhantes, ficamos com:

f ' x =   5 x 4 + 3 x 2 + 2 x

Prontinho. Primeiro modo, feito!

Passo 3

M o d o   I I :

A outra forma de fazer isso é muitiplicar as expressões que estão entre parênses reescrevendo a função dessa forma aqui:

f x = ( x 2 + 1 ) ( x 3 + 1 )

E fazendo a distributiva teremos:

y = x 5 + x 2 + x 3 + 1

Agora aplicando a regra de derivação para cada termo, ficamos com:

f ' x =   5 x 4 + 3 x 2 + 2 x

Perceba que o resultado da derivada é o mesmo para os dois modos, porém o M o d o   ( I I ) é mais direto.

Resposta

f ' x =   5 x 4 + 3 x 2 + 2 x

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