4. ∫ 0 π 2 sen 5 ⁡ x   d x

Passo 1

Fala cara, beleza?! Vamos resolver esse B.O. aí juntos.

Queremos

∫ 0 π 2 sen 5 ⁡ x   d x

Mas essa integral pode ser escrita como

∫ 0 π 2 sen 4 ⁡ x ⋅ sen ⁡ x   d x

Certo?! Que também pode ser escrita como:

∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ x 2 ⋅ sen ⁡ x   d x

Certo?! Nada demais até aqui. Mas você deve estar se perguntando, “pra que isso?!”, e eu te respondo. Fizemos isso pra podermos aplicar uma identidade trigonométrica e logo depois fazer uma substituição simples, assim vamos conseguir resolver, olha só.

Passo 2

Temos que:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 → sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Essa aí é a identidade trigonométrica que te falei. Vamos substituir na integral, assim:

∫ 0 π 2 1 - cos 2 ⁡ x 2 ⋅ sen ⁡ x   d x

Vamos agora chamar u = cos ⁡ x , logo, teremos que d x = - d u sen ⁡ x , assim:

- ∫ 1 - u 2 2 d u = - ∫ 1 - 2 u 2 + u 4 d u

Resolvendo essa integral, teremos:

- ∫ 1 - 2 u 2 + u 4 d u = - u + 2 u 3 3 - u 5 5 + C

Vamos substituir agora u = cos ⁡ x , e aplicar os intervalos da integral, assim:

- cos ⁡ x + 2 cos 3 ⁡ x 3 - cos 5 ⁡ x 5 0 π 2     = 8 15

Resposta

8 15

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