Enunciado

Determine a primeira e a segunda derivadas das funções nos Exercícios 45-52.

w = 3 z 2 e 2 z

Passo 1

A questão pede para obter a primeira e a segunda derivadas de w z . Como temos um produto, utilizaremos da regra do produto da derivada

w ' = f ∙ g ' = f ' ∙ g + f ∙ g '

Passo 2

Obtendo a derivada de ordem 1:

w ' = 3 z 2 e 2 z '

w ' = 3 z 2 ' e 2 z + 3 z 2 e 2 z '

Aqui temos e 2 z , para achar a derivada dessa função vamos fazer uma mudança de variável:

e 2 z ' = d e 2 z d z → 2 z = a

d e 2 z d z = d e a d z

Se lembrarmos das propriedades de derivada

d e a d z = d e a d a ∙ d a d z

Logo,

d e 2 z d z = e a ∙ 2 z '

d e 2 z d z = e 2 z ∙ 2 z 1 - 1

d e 2 z d z = e 2 z ∙ 2

d e 2 z d z = 2 e 2 z

Substituindo d e 2 z d z em w ' :

w ' = 3 z 2 ' e 2 z + 3 z 2 e 2 z '

w ' = 3 ∙ 2 z 2 - 1 e 2 z + 3 z 2 ∙ 2 e 2 z

w ' = 6 z e 2 z + 6 z 2 e 2 z

w ' = 6 z e 2 z z + 1

Pronto, calculamos a primeira derivada de w z .

Passo 3

A próxima derivada é obtida por:

w ' ' = 6 z e 2 z z + 1 '

Como temos um produto,

w ' ' = 6 z e 2 z ' z + 1 + 6 z e 2 z z + 1 '

A derivada de 6 z e 2 z podemos encontrar também pela regra do produto

6 z e 2 z ' = 6 z ' e 2 z + 6 z e 2 z '

6 z e 2 z ' = 6 z 1 - 1 e 2 z + 6 z 2 e 2 z

6 z e 2 z ' = 6 e 2 z + 12 z e 2 z

6 z e 2 z ' = 6 e 2 z 1 + 2 z

Substituindo em,

w ' ' = 6 z e 2 z ' z + 1 + 6 z e 2 z z + 1 '

w ' ' = 6 e 2 z 1 + 2 z z + 1 + 6 z e 2 z z 1 - 1 + 0

w ' ' = 6 e 2 z 1 + 2 z z + 1 + 6 z e 2 z

w ' ' = 6 e 2 z z + 1 + 2 z 2 + 2 z + 6 z e 2 z

w ' ' = 6 z e 2 z + 6 e 2 z + 12 z 2 e 2 z + 12 z e 2 z + 6 z e 2 z

w ' ' = 6 e 2 z + 24 z e 2 z + 12 z 2 e 2 z

w ' ' = 6 e 2 z 1 + 4 z + 2 z 2

Fim!!!

Resposta

w ' = 6 z e 2 z z + 1

w ' ' = 6 e 2 z 1 + 4 z + 2 z 2

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