Enunciado

Encontre a derivada da função.

G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)

Para isso, precisamos utilizar a regra da cadeia, que é dada da seguinte forma:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Também temos que lembrar da regra da divisão de derivadas, que é dada por:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

E aí? Bora lá palicar?? 😉

Passo 2

Primeiro vamos usar a regra da divisão e, para isso, temos que:

f (y) = (y - 1)^4

e

g (y) = (y^2 + 2 y)^5

Vamos agora só montar na fórmula:

G^' (y) = (((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5))^' :.

G ' (y) = (((y - 1)^4) ' . (y^2 + 2 y)^5 - ((y - 1)^4) . ((y^2 + 2 y)^5) ')/(((y^2 + 2 y)^5)^2)

Passo 3

Vamos calcular f ' ( y ) usando a regra da cadeia fazendo u = y - 1 . Assim:

f^' (y) = (d)/(d u) (u^4) * (d)/(d y) (y - 1) :.

f^' (y) = 4 u^(4 - 1) * y^(1 - 1) :.

f^' (y) = 4 u^3 * y^0 :.

f^' (y) = 4 u^3

Substituindo u :

f^' (y) = 4 (y - 1)^3

Passo 4

Com g ' ( y ) é a mesma coisa fazendo u = y^2 + 2 y :

g^' (y) = (d)/(d u) (u^5) * (d)/(d y) (y^2 + 2 y) :.

g^' (y) = 5 u^(5 - 1) * (2 y^(2 - 1) + 2 y^(1 - 1)) :.

g^' (y) = 5 u^4 * (2 y + 2 y^0) :.

g^' (y) = 5 u^4 * (2 y + 2)

Substituindo u :

g^' (y) = 5 (y^2 + 2 y)^4 * (2 y + 2)

Passo 5

Agora voltamos a expressão do passo 1 para terminar:

G^' (y) = (f^' (y) g (y) - f (y) g^' (y))/([g (y)]^2) :.

G^' (y) = (4 (y - 1)^3 . (y^2 + 2 y)^5 - (y - 1)^4 . 5 (y^2 + 2 y)^4 . (2 y + 2))/(((y^2 + 2 y)^5)^2) :.

G^' (y) = (4 (y - 1)^3 . (y^2 + 2 y)^5 - 5 (y - 1)^4 (y^2 + 2 y)^4 . (2 y + 2))/(((y^2 + 2 y)^5)^2) :.

G^' (y) = (2 (y^2 + 2 y)^4 (y - 1) [2 (y^2 + 2 y)^4 - 5 (y - 1) (y + 1)])/((y^2 + 2 y)^(10)) :.

G^' (y) = (2 (y - 1)^3 (- 3 y^2 + 4 y + 5))/((y^2 + 2 y)^6)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

G^' (y) = (2 (y - 1)^3 (- 3 y^2 + 4 y + 5))/((y^2 + 2 y)^6)

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