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Encontre a derivada da função.

G y = y - 1 4 y 2 + 2 y 5

Passo 1

Primeiro vamos usar a regra da divisão:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f y = y - 1 4

e

g y = y 2 + 2 y 5

Vamos agora só montar na fórmula:

G ' y = y - 1 4 y 2 + 2 y 5 ' = y - 1 4 ' . y 2 + 2 y 5 - y - 1 4 . y 2 + 2 y 5 ' y 2 + 2 y 5 2

Passo 2

Vamos calcular f ' ( y ) , usando a regra do polinômio, da cadeia e da função constante:

x n ' = n x n - 1 e c ' = 0

Assim:

f ' ( y ) = y - 1 4 ' = 4 y - 1 4 - 1 . y - 1 ' = 4 y - 1 3 . y 1 - 1 - 0 = 4 y - 1 3 . 1 = 4 y - 1 3

Passo 3

Com g ' ( y ) é a mesma coisa:

g ' ( y ) = y 2 + 2 y 5 ' = 5 y 2 + 2 y 5 - 1 . y 2 + 2 y ' = 5 y 2 + 2 y 4 . 2 y 2 - 1 + 2 y 1 - 1

g ' y = 5 y 2 + 2 y 4 . 2 y 2 - 1 + 2 y 1 - 1 = 5 y 2 + 2 y 4 . 2 y + 2

Passo 4

Agora voltamos a expressão do passo 1 para terminar:

G ' y = f ' y g y - f y g ' y g y 2 = 4 y - 1 3 . y 2 + 2 y 5 - y - 1 4 . 5 y 2 + 2 y 4 . 2 y + 2 y 2 + 2 y 5 2 = 4 y - 1 3 . y 2 + 2 y 5 - 5 y - 1 4 y 2 + 2 y 4 . 2 y + 2 y 2 + 2 y 5 2

Resposta

G ' ( y ) = 4 y - 1 3 . y 2 + 2 y 5 - 5 y - 1 4 y 2 + 2 y 4 . 2 y + 2 y 2 + 2 y 5 2

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