Enunciado

Derive a função

y = ln ⁡ ( x 4 s e n 2 x )

Passo 1

Fala aí, pessoal.

Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função

y = ln ⁡ ( x 4 s e n 2 x )

E para questões desse tipo, o ideal é sempre ter atenção as características da função que queremos derivar. Analisando direitinho qual o tipo de função que temos vamos poder encontra a regra de derivação mais adequada.

Além disso, vamos escreve a função da maneira mais simples possível.

Veja que nossa função é formada por ln ⁡ x 4 ⋅ s e n 2 x

sendo assim podemos usar algumas propriedades do logaritmo, para que ela fique mais simples e depois veremos como podemos derivá-la.

Vem comigo que te ajudo no passo a passo.

Passo 2

Nossa função é:

y = ln ⁡ x 4 ⋅ s e n 2 x

Observe que dentro do ln ⁡   temos um produto entre duas funções. Lembrando que:

ln ⁡ a ⋅ b = ln ⁡ a + ln ⁡ b

Nossa função se torna:

ln ⁡ x 4 ⋅ s e n 2 x = ln ⁡ x 4 + ln ⁡ s e n 2 ⁡ x

E sabendo que:

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

Maravilha. Agora a função que vamos derivar se tornou:

ln ⁡ x 4 ⋅ s e n 2 x = 4 ln ⁡ x + 2 ln ⁡ s e n ⁡ x

Perceba que ela é formada por dois termos, assim sua derivada será dada por:

ln ⁡ x 4 ⋅ s e n 2 x ' = 4 ln ⁡ x ' + 2 ln ⁡ s e n ⁡ x '

Vamos derivar cada termo nos passos seguintes.

Passo 3

Para o primeiro termo, temos uma derivada mais direta dada por:

4 ln ⁡ x ' = 4 ⋅ 1 x

Show.

Passo 4

Já para p segundo termo, temos:

2 ln ⁡ s e n ⁡ x '

Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, onde temos que se:

F x = f g x

f g x = ln ⁡ g x

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Assim, aplicando a regra da cadeia, fazendo g x = sen ⁡ x , temos:

2 ln ⁡ s e n ⁡ x ' = 2 ⋅ 1 g x ⋅ g ' x

Substituindo ficamos com:

2 ln ⁡ s e n ⁡ x ' = 2 ⋅ 1 sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

Que é o mesmo que:

2 ln ⁡ s e n ⁡ x ' = 2 ⋅ cos ⁡ x sen ⁡ x

Passo 5

Agora basta substituir cada uma das derivadas que encontramos. Lembrando que

y ' =   ln ⁡ x 4 ⋅ s e n 2 x ' = 4 ln ⁡ x ' + 2 ln ⁡ s e n ⁡ x '

E que:

4 ln ⁡ x ' = 4 x

E

2 ln ⁡ s e n ⁡ x ' = 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

Temos:

y ' = 4 x + 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

E fazendo o mmc, teremos:

y ' = 4 s e n ⁡ x + 2 x cos ⁡ x x s e n ⁡ x

E essa é nossa resposta final.

Resposta

y ' = 4 s e n ⁡ x + 2 x cos ⁡ x x s e n ⁡ x

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