Enunciado

Encontre a derivada da função.

f ( t ) = sen^2 (e^(s en^2 t))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

f (t) = (d)/(d t) sen^2 (e^(s en^2 t))

Para resolver isso, precisaremos aplicar a regra da cadeia, que é dada por:

(d y)/(d t) = (d y)/(d u) * (d u)/(d t)

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos que u = sen (e^(s en^2 t)) , logo:

f^' (t) = (d)/(d u) (u^2) * (d)/(d t) [sen (e^(s en^2 t))] :.

f^' (t) = 2 u * (d)/(d t) [sen (e^(s en^2 t))] :.

Substituindo u :

f^' (t) = 2 [sen (e^(s en^2 t))] * (d)/(d t) [sen (e^(s en^2 t))]

Agora vamos aplicar a regra da cadeia nessa derivada que sobrou!!

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em g^' (t) = (d)/(d t) [sen (e^(s en^2 t))] , fazendo u = e^(s en^2 t) , temos:

g^' (t) = (d)/(d u) (sin u) * (d)/(d t) [e^(s en^2 t)] :.

g^' (t) = cos u * (d)/(d t) [e^(s en^2 t)]

Substituindo u :

g^' (t) = cos (e^(s en^2 t)) * (d)/(d t) [e^(s en^2 t)]

Agora vamos resolver essa outra derivada que restou!!

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em w^' (t) = (d)/(d t) [e^(s en^2 t)] , fazendo u = s en^2 t , temos:

w^' (t) = (d)/(d u) (e^u) * (d)/(d t) [s en^2 t] :.

w^' (t) = e^u * (d)/(d t) [s en^2 t]

Substituindo u :

w^' (t) = e^(s en^2 t) * (d)/(d t) [s en^2 t]

Agora vamos resolver essa outra derivada que restou!! (A última haha)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia em p^' (t) = (d)/(d t) [s en^2 t] , fazendo u = sen t , temos:

p^' (t) = (d)/(d u) (u^2) * (d)/(d t) [sen t] :.

p^' (t) = 2 u * cos t

Substituindo u :

p^' (t) = 2 sen t * cos t

Passo 6

Aplicando p^' (t) em w^' (t) , temos:

w^' (t) = e^(s en^2 t) * (2 sen t * cos t)

Aplicando agora w^' (t) em g^' (t) , temos:

g^' (t) = cos (e^(s en^2 t)) * [e^(s en^2 t) * (2 sen t * cos t)]

E, por fim, aplicando g^' (t) em f^' (t) , temos:

f^' (t) = 2 [sen (e^(s en^2 t))] * {cos (e^(s en^2 t)) * [e^(s en^2 t) * (2 sen t * cos t)]}

Rearranjando, temos que:

f^' (t) = 4 sen (e^(s en^2 t)) cos (e^(s en^2 t)) e^(s en^2 t) . sen t . cos t

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

f^' (t) = 4 sen (e^(s en^2 t)) cos (e^(s en^2 t)) e^(s en^2 t) . sen t . cos t

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